ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.31 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно a. Точки O и O₁ — центры соответственно граней ABCD и A₁B₁C₁D₁ куба. Найдите расстояние между прямыми CD и OO₁.

,

Рассмотрим куб с ребром \(a\). Центры граней \(O\) и \(O_1\) имеют координаты \(O\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right)\) и \(O_1\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a\right)\). Прямая \(OO_1\) — вертикальная ось через центр основания, а прямая \(CD\) лежит на нижней грани.

Расстояние между скрещивающимися прямыми \(CD\) и \(OO_1\) равно расстоянию от точки \(D(0, a, 0)\) до прямой \(OO_1\). Находим вектор \(\overrightarrow{O D} = (0 — \frac{a}{2}, a — \frac{a}{2}, 0 — 0) = (-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)\).

Вектор направления прямой \(OO_1\) равен \((0, 0, 1)\).

Векторное произведение:
\((0, 0, 1) \times (-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0) = (-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0)\).

Длина этого вектора:
\(\sqrt{(-\frac{a}{2})^2 + (-\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}\).

Длина направления \((0, 0, 1)\) равна \(1\).

Искомое расстояние:
\(\frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{2}\).

На рисунке приведён ответ \(\frac{a}{2}\), так как расстояние между центром основания и прямой \(CD\) по горизонтали — это половина стороны квадрата, то есть \(\frac{a}{2}\).

1. Пусть куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) имеет ребро \( a \). Введём систему координат: \( A(0,0,0) \), \( B(a,0,0) \), \( C(a,a,0) \), \( D(0,a,0) \), \( A_1(0,0,a) \), \( B_1(a,0,a) \), \( C_1(a,a,a) \), \( D_1(0,a,a) \).

2. Центр нижней грани \( O \) имеет координаты \( \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) \). Центр верхней грани \( O_1 \) имеет координаты \( \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a\right) \).

3. Прямая \( CD \) проходит через точки \( C(a,a,0) \) и \( D(0,a,0) \). Направляющий вектор этой прямой равен \( (a — 0, a — a, 0 — 0) = (a, 0, 0) \).

4. Прямая \( OO_1 \) проходит через точки \( O\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) \) и \( O_1\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a\right) \). Направляющий вектор этой прямой равен \( (0, 0, a) \).

5. Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми используем формулу:
\( d = \frac{\left| (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) \cdot \vec{P} \right|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|} \),
где \( \vec{v_1} \) и \( \vec{v_2} \) — направляющие векторы прямых, \( \vec{P} \) — вектор между произвольными точками этих прямых.

6. Направляющие векторы:
\( \vec{v_1} = (a, 0, 0) \) — для \( CD \),
\( \vec{v_2} = (0, 0, a) \) — для \( OO_1 \).

7. Вектор между точками \( D(0, a, 0) \) и \( O\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) \):
\( \vec{P} = \left(\frac{a}{2} — 0, \frac{a}{2} — a, 0 — 0\right) = \left(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0\right) \).

8. Векторное произведение:
\( \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (a, 0, 0) \times (0, 0, a) = (0, -a^2, 0) \).

9. Скалярное произведение:
\( (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) \cdot \vec{P} = (0, -a^2, 0) \cdot \left(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0\right) = 0 \cdot \frac{a}{2} + (-a^2) \cdot \left(-\frac{a}{2}\right) + 0 \cdot 0 = \frac{a^3}{2} \).

10. Длина векторного произведения:
\( |\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{0^2 + (-a^2)^2 + 0^2} = a^2 \).

Искомое расстояние:
\( d = \frac{\frac{a^3}{2}}{a^2} = \frac{a}{2} \).