ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.36 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основания трапеции равны 15 см и 20 см. Через большее основание трапеции проведена плоскость α на расстоянии 14 см от её меньшего основания. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до плоскости α.

В трапеции основания \(AB = 15\) см и \(CD = 20\) см, расстояние между ними \(AH = 14\) см. Пусть \(OM = x\) — расстояние от меньшего основания до точки пересечения диагоналей, тогда \(OK = 14 — x\).

По подобию треугольников:
\(\frac{15}{20} = \frac{x}{14-x}\).

Решаем:
\(15(14 — x) = 20x\),
\(210 — 15x = 20x\),
\(210 = 35x\),
\(x = 6\).

Тогда \(OK = 14 — 6 = 8\) см.

В трапеции основания \(AB = 15\) см и \(CD = 20\) см, а расстояние между ними \(AH = 14\) см. Пусть точка \(O\) — точка пересечения диагоналей. Через большее основание \(CD\) проведена плоскость \(\alpha\), параллельная основанию \(AB\) и отстоящая от него на \(14\) см. Требуется найти расстояние от точки \(O\) до плоскости \(\alpha\), то есть расстояние \(OK\).

Рассмотрим свойства точек пересечения диагоналей в трапеции. Диагонали пересекаются в точке, делящей их на отрезки, пропорциональные основаниям. Если обозначить расстояние от меньшего основания \(AB\) до точки \(O\) как \(x\), то расстояние от точки \(O\) до большего основания \(CD\) будет \(14 — x\). По свойству подобия треугольников \(ABO\) и \(CDO\) выполняется соотношение: \(\frac{AB}{CD} = \frac{x}{14-x}\). Подставляем значения: \(\frac{15}{20} = \frac{x}{14-x}\).

Решим это уравнение. Перемножаем крест-накрест: \(15 \cdot (14 — x) = 20x\). Раскрываем скобки: \(210 — 15x = 20x\). Переносим все слагаемые с \(x\) в одну сторону: \(210 = 35x\). Отсюда находим: \(x = \frac{210}{35} = 6\). Значит, расстояние от точки \(O\) до плоскости \(\alpha\) (то есть от точки \(O\) до основания \(CD\)) равно \(14 — 6 = 8\) см.

Таким образом, используя свойства трапеции и подобие треугольников, мы выразили искомое расстояние через известные величины, составили и решили пропорцию, что позволило получить окончательный ответ: расстояние от точки пересечения диагоналей до плоскости, проходящей через большее основание, равно \(8\) см.