ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.37 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Стороны AB и BC параллелограмма ABCD равны 20 см и \(\frac{5}{3}\) см. Прямая AB принадлежит плоскости α. Проекции отрезков AC и BD на плоскость α равны 18 см и 24 см соответственно. Найдите расстояние от прямой CD до плоскости α.

Длины диагоналей выражаются как \(BD^2 = x^2 + 24^2\) и \(AC^2 = x^2 + 18^2\), где \(x\) — расстояние от прямой \(CD\) до плоскости \(\alpha\).

По формуле для суммы квадратов диагоналей параллелограмма: \(BD^2 + AC^2 = 2(AB^2 + BC^2)\).

Подставляем значения: \(AB = 20\), \(BC = \frac{5}{3}\), но по фото \(BC^2 = 75\), значит \(BD^2 + AC^2 = 2(400 + 75) = 950\).

Складываем выражения для диагоналей: \(x^2 + 576 + x^2 + 324 = 950\), отсюда \(2x^2 + 900 = 950\), значит \(2x^2 = 50\), \(x^2 = 25\), \(x = 5\).

Ответ: \(5\) см.

Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\), в котором известно, что длина стороны \(AB = 20\) см, а длина стороны \(BC = \sqrt{75}\) см (так как по примеру \(BC^2 = 75\)). Пусть \(AC\) и \(BD\) — диагонали этого параллелограмма. Из условия задачи известно, что длина проекции диагонали \(AC\) на плоскость \(\alpha\) равна \(18\) см, а длина проекции диагонали \(BD\) на плоскость \(\alpha\) равна \(24\) см. Пусть расстояние от прямой \(CD\) до плоскости \(\alpha\) равно \(x\). Тогда, исходя из геометрического смысла, сами диагонали \(AC\) и \(BD\) можно рассматривать как гипотенузы в прямоугольных треугольниках, где одним из катетов является длина их проекции на плоскость \(\alpha\), а вторым катетом — искомое расстояние \(x\). Таким образом, длины диагоналей выражаются как \(AC = \sqrt{x^2 + 18^2}\) и \(BD = \sqrt{x^2 + 24^2}\).

Далее воспользуемся теоремой о сумме квадратов диагоналей параллелограмма, которая гласит: сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов сторон, то есть \(BD^2 + AC^2 = 2(AB^2 + BC^2)\). Подставим известные значения: \(AB^2 = 20^2 = 400\) и \(BC^2 = 75\), тогда \(2(400 + 75) = 2 \times 475 = 950\). Теперь выразим длины диагоналей через расстояние \(x\): \(AC^2 = x^2 + 18^2 = x^2 + 324\), \(BD^2 = x^2 + 24^2 = x^2 + 576\). Складываем эти выражения: \(AC^2 + BD^2 = (x^2 + 324) + (x^2 + 576) = 2x^2 + 900\).

Приравниваем полученное выражение к 950: \(2x^2 + 900 = 950\). Тогда \(2x^2 = 950 — 900 = 50\). Делим обе части на 2 и получаем \(x^2 = \frac{50}{2} = 25\). Из этого следует, что \(x = 5\). Таким образом, расстояние от прямой \(CD\) до плоскости \(\alpha\) равно \(5\) см.