ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.38 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона AD параллелограмма ABCD принадлежит плоскости α. Точки B₁ и C₁ являются соответственно проекциями точек B и C на плоскость α. Известно, что BB₁ = 8 см, AB = 17 см, B₁D = 24 см, C₁A = 12 см. Найдите отрезок AD.

По теореме Пифагора: \(BD^2 = BB_1^2 + B_1D^2 = 8^2 + 24^2 = 640\).

Аналогично: \(AC^2 = AC_1^2 + CC_1^2 = 12^2 + 8^2 = 208\).

Для диагоналей параллелограмма: \(AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)\).

Подставляем: \(208 + 640 = 2(17^2 + AD^2)\).

Получаем: \(848 = 2(289 + AD^2)\), отсюда \(424 = 289 + AD^2\).

Следовательно, \(AD^2 = 135\), значит \(AD = \sqrt{135} \approx 11{,}6\) см.

Для нахождения длины диагонали \(AD\) параллелограмма, сначала вычислим длины диагоналей, которые лежат в пространстве. По условию задачи стороны и высоты заданы, поэтому воспользуемся теоремой Пифагора для треугольников, образованных сторонами и высотами. Диагональ \(BD\) вычисляется как \(BD^2 = BB_1^2 + B_1D^2\), где \(BB_1 = 8\) и \(B_1D = 24\). Подставляем значения: \(BD^2 = 8^2 + 24^2 = 64 + 576 = 640\). Далее, диагональ \(AC\) аналогично вычисляется по формуле \(AC^2 = AC_1^2 + CC_1^2\), где \(AC_1 = 12\) и \(CC_1 = 8\). Получаем: \(AC^2 = 12^2 + 8^2 = 144 + 64 = 208\).

Теперь применим формулу для суммы квадратов диагоналей параллелограмма, которая выражается через стороны: \(AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)\). Подставляем известные значения: \(AC^2 + BD^2 = 208 + 640 = 848\). Сторона \(AB = 17\), следовательно, \(AB^2 = 17^2 = 289\). Подставляем в формулу: \(848 = 2(289 + AD^2)\). Разделим обе части на 2: \(424 = 289 + AD^2\). Выразим \(AD^2\): \(AD^2 = 424 — 289 = 135\).

На последнем этапе найдём длину диагонали \(AD\), извлекая квадратный корень из полученного значения: \(AD = \sqrt{135}\). Если требуется приблизительное значение, то \(AD \approx 11{,}6\) см. Таким образом, длина диагонали \(AD\) равна \( \sqrt{135} \) или примерно \( 11{,}6 \) см.