ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.39 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно a. Точка M — середина ребра C₁D₁. Найдите расстояние от точки D₁ до плоскости AMD.

Координаты точек: \(A(0,0,0)\), \(D(0,a,0)\), \(M\left(\frac{a}{2},a,a\right)\), \(D_1(0,a,a)\).

Находим нормальный вектор плоскости \(AMD\):
\(\vec{AM} = \left(\frac{a}{2}, a, a\right)\), \(\vec{AD} = (0, a, 0)\).
Векторное произведение:
\(\vec{n} = (-a^2, 0, \frac{a^2}{2})\).

Уравнение плоскости:
\(-a^2 x + \frac{a^2}{2} z = 0\),
или \(x = \frac{z}{2}\).

Расстояние от точки \(D_1(0,a,a)\) до плоскости:
\(d = \frac{\left|-a^2 \cdot 0 + 0 \cdot a + \frac{a^2}{2} \cdot a\right|}{\sqrt{(-a^2)^2 + 0^2 + \left(\frac{a^2}{2}\right)^2}}\).

В итоге:
\(d = \frac{a \sqrt{5}}{5}\).

Пусть дан куб с длиной ребра \(a\). Введём систему координат так, чтобы одна из вершин куба совпадала с началом координат, а рёбра были параллельны осям. Тогда координаты вершин: \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(C(a,a,0)\), \(D(0,a,0)\), \(A_1(0,0,a)\), \(B_1(a,0,a)\), \(C_1(a,a,a)\), \(D_1(0,a,a)\). Точка \(M\) — середина ребра \(C_1 D_1\), значит её координаты вычисляются как среднее арифметическое соответствующих координат концов ребра: \(C_1(a,a,a)\) и \(D_1(0,a,a)\). Получаем координаты \(M\): \(x = \frac{a+0}{2} = \frac{a}{2}\), \(y = \frac{a+a}{2} = a\), \(z = \frac{a+a}{2} = a\), то есть \(M\left(\frac{a}{2}, a, a\right)\).

Для составления уравнения плоскости по трём точкам \(A\), \(M\), \(D\) сначала найдём два ненулевых вектора, лежащих в этой плоскости: \(\vec{AM}\) и \(\vec{AD}\). Вектор \(\vec{AM}\) равен разности координат \(M\) и \(A\): \(\left(\frac{a}{2} — 0, a — 0, a — 0\right) = \left(\frac{a}{2}, a, a\right)\). Вектор \(\vec{AD}\) равен разности координат \(D\) и \(A\): \((0 — 0, a — 0, 0 — 0) = (0, a, 0)\). Теперь найдём их векторное произведение, чтобы получить нормальный вектор к плоскости.
Векторное произведение \(\vec{AM} \times \vec{AD}\) вычисляется по определителю:
\(\vec{n} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{a}{2} & a & a \\
0 & a & 0
\end{vmatrix} = \vec{i}(a \cdot 0 — a \cdot a) — \vec{j}\left(\frac{a}{2} \cdot 0 — a \cdot 0\right) + \vec{k}\left(\frac{a}{2} \cdot a — a \cdot 0\right)\).
В результате получаем:
\(\vec{n} = \vec{i}(-a^2) + \vec{j}(0) + \vec{k}\left(\frac{a^2}{2}\right)\),
то есть нормальный вектор \(\vec{n} = (-a^2, 0, \frac{a^2}{2})\).

Уравнение плоскости имеет вид:
\(-a^2(x — 0) + 0(y — 0) + \frac{a^2}{2}(z — 0) = 0\),
или проще: \(-a^2 x + \frac{a^2}{2} z = 0\),
разделим на \(a^2\) (если \(a \neq 0\)):
\(-x + \frac{z}{2} = 0\),
или \(x = \frac{z}{2}\).

Теперь найдём расстояние от точки \(D_1(0,a,a)\) до плоскости \(x = \frac{z}{2}\). Формула расстояния от точки \((x_0, y_0, z_0)\) до плоскости \(Ax + By + Cz + D = 0\):
\(d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\).
В нашем случае \(A = -1\), \(B = 0\), \(C = \frac{1}{2}\), \(D = 0\), \(x_0 = 0\), \(y_0 = a\), \(z_0 = a\):
Числитель: \(|-1 \cdot 0 + 0 \cdot a + \frac{1}{2} \cdot a| = |\frac{a}{2}|\).
Знаменатель: \(\sqrt{(-1)^2 + 0^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}\).
Итак, расстояние:
\(d = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{5}}\).
Рационализируем знаменатель:
\(d = \frac{a \sqrt{5}}{5}\).