ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.41 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 1 см. Найдите расстояние между прямыми B₁D и AC.

Пусть \(A(0,0,0)\), \(B_1(1,0,1)\), \(C(1,1,0)\), \(D(0,1,0)\).

Направляющие векторы: для \(AC\) — \((1,1,0)\), для \(B_1D\) — \((-1,1,-1)\). Вектор между \(A\) и \(B_1\): \((1,0,1)\).

Расстояние между прямыми вычисляется по формуле: \(d = \frac{|\text{mixed product}|}{|\text{vector product}|}\).

Смешанное произведение: \((1,0,1) \cdot ((1,1,0) \times (-1,1,-1)) = 1\).

Векторное произведение: длина \(\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}\).

Ответ: \(d = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}\) см.

Рассмотрим куб с длиной ребра 1 и выберем систему координат: \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(C(1,1,0)\), \(D(0,1,0)\), \(A_1(0,0,1)\), \(B_1(1,0,1)\), \(C_1(1,1,1)\), \(D_1(0,1,1)\). Прямая \(AC\) проходит через точки \(A\) и \(C\), её направляющий вектор равен \( (1,1,0) \). Прямая \(B_1D\) проходит через точки \(B_1\) и \(D\), её направляющий вектор равен \( (-1,1,-1) \). Вектор между точками \(A\) и \(B_1\) равен \( (1,0,1) \).

Расстояние между скрещивающимися прямыми вычисляется по формуле: \(d = \frac{|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|}{|\vec{b} \times \vec{c}|}\), где \(\vec{a}\) — вектор между произвольными точками на прямых, а \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) — направляющие векторы прямых. В нашем случае: \(\vec{a} = (1,0,1)\), \(\vec{b} = (1,1,0)\), \(\vec{c} = (-1,1,-1)\).

Вычислим векторное произведение \(\vec{b} \times \vec{c}\): его координаты равны \( (1 \cdot -1 — 0 \cdot 1, 0 \cdot -1 — 1 \cdot -1, 1 \cdot 1 — 1 \cdot -1) = (-1, 1, 2) \). Его длина равна \( \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \). Смешанное произведение: \( (1,0,1) \cdot (-1, 1, 2) = 1 \cdot -1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = -1 + 0 + 2 = 1 \). Подставляем в формулу: \( d = \frac{1}{\sqrt{6}} \). Рационализируем знаменатель: \( \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6} \). Ответ: \( \frac{\sqrt{6}}{6} \) см.