ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.42 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Длина каждого ребра тетраэдра DABC равна 1 см. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Длина ребра тетраэдра \(1\) см.

Прямые \(AB\) и \(CD\) — скрещивающиеся. Их расстояние равно длине высоты правильного треугольника со стороной \(1\), опущенной из вершины на противоположное ребро, что равно \(BO = \frac{\sqrt{2}}{2}\) см.

В правильном тетраэдре \(DABC\) все рёбра равны \(1\) см. Прямые \(AB\) и \(CD\) не лежат в одной плоскости, то есть скрещиваются. Чтобы найти расстояние между ними, воспользуемся формулой для расстояния между скрещивающимися прямыми, которая равна длине общего перпендикуляра, соединяющего эти прямые. В правильном тетраэдре этот перпендикуляр проходит от середины ребра \(AB\) к середине ребра \(CD\).

Рассмотрим координаты вершин тетраэдра. Пусть \(A = (0, 0, 0)\), \(B = (1, 0, 0)\), \(C = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)\), \(D = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{3})\). Тогда середина \(AB\) имеет координаты \((\frac{1}{2}, 0, 0)\), а середина \(CD\) — \((\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{6})\). Вектор между этими точками: \((0, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{6})\). Длина этого вектора равна \(\sqrt{0^2 + (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 + (\frac{\sqrt{6}}{6})^2} = \sqrt{\frac{3}{9} + \frac{6}{36}} = \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) см.

Таким образом, расстояние между прямыми \(AB\) и \(CD\) в правильном тетраэдре с ребром \(1\) см всегда равно \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) см. Это значение получается из геометрических свойств тетраэдра и симметрии его расположения в пространстве, где все рёбра равны и углы между ними одинаковы.