ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.43 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Точка M такова, что OM = 1 см. Через точку M проведена плоскость α, не имеющая с параллелограммом общих точек. Докажите, что сумма расстояний от вершин параллелограмма до плоскости α не больше 4 см.

Дано: параллелограмм \(ABCD\), диагонали пересекаются в точке \(O\), точка \(M\) вне плоскости параллелограмма, \(OM = 1\) см, через \(M\) проведена плоскость \(\alpha\), не пересекающая параллелограмм.

Пусть \(A_1, B_1, C_1, D_1\) — основания перпендикуляров из \(A, B, C, D\) на \(\alpha\). Тогда \(OO_1 \leq OM = 1\) см.

Расстояние \(OO_1 = \frac{AA_1 + CC_1}{2} = \frac{BB_1 + DD_1}{2}\).

Отсюда \(AA_1 + CC_1 = BB_1 + DD_1 \leq 2\) см.

Сумма расстояний: \(AA_1 + BB_1 + CC_1 + DD_1 = 2(AA_1 + CC_1) \leq 4\) см.

Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\) с точкой пересечения диагоналей \(O\). Пусть через точку \(M\), лежащую вне плоскости параллелограмма и такую, что \(OM = 1\) см, проведена плоскость \(\alpha\), не пересекающая параллелограмм. Из каждой вершины параллелограмма опустим перпендикуляр на плоскость \(\alpha\), и обозначим основания этих перпендикуляров как \(A_1, B_1, C_1, D_1\). Требуется оценить сумму длин перпендикуляров \(AA_1 + BB_1 + CC_1 + DD_1\).

Заметим, что точка \(O\) — середина диагоналей \(AC\) и \(BD\), и расстояния от противоположных вершин параллелограмма до плоскости \(\alpha\) связаны между собой. Пусть \(OO_1\) — расстояние от точки \(O\) до плоскости \(\alpha\) (здесь \(O_1\) — основание перпендикуляра из \(O\) на \(\alpha\)). По свойству параллелограмма, расстояния от пар противоположных вершин до плоскости равны и выражаются через \(OO_1\): \(AA_1 + CC_1 = BB_1 + DD_1 = 2OO_1\). Это следует из симметрии параллелограмма и того, что точка \(O\) делит диагонали пополам, а расстояния от вершин до плоскости зависят только от положения плоскости относительно центра.

Поскольку точка \(M\) лежит вне плоскости параллелограмма, а \(OM = 1\) см — это наименьшее расстояние от центра параллелограмма до плоскости \(\alpha\), получаем, что \(OO_1 \leq OM = 1\) см. Тогда \(AA_1 + CC_1 = 2OO_1 \leq 2\) см и аналогично \(BB_1 + DD_1 \leq 2\) см. В итоге, сумма всех четырех расстояний \(AA_1 + BB_1 + CC_1 + DD_1 = (AA_1 + CC_1) + (BB_1 + DD_1) \leq 2 + 2 = 4\) см. Таким образом, для любого положения плоскости \(\alpha\), проходящей через точку \(M\) вне параллелограмма, эта сумма не превышает 4 см.