ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.44 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Плоскости α и β параллельны. Точки A и C принадлежат плоскости α, а точки B и D — плоскости β. Известно, что AB ⊥ α, BD = 20 см, AC = 13 см, CD = 35 см, а расстояние между прямыми AB и CD равно 12 см. Найдите расстояние между плоскостями α и β.

Расстояние между плоскостями равно длине перпендикуляра между ними. По условию, расстояние между прямыми \(AB\) и \(CD\) — \(12\) см. В треугольнике \(BDK\): \(BD = 20\) см, \(BK = 12\) см. Тогда по теореме Пифагора: \(DK = \sqrt{20^2 — 12^2} = \sqrt{400 — 144} = \sqrt{256} = 16\) см.

Ответ: 16 см.

Пусть плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, точки \(A\) и \(C\) лежат в \(\alpha\), а \(B\) и \(D\) — в \(\beta\). Пусть \(AB\) — перпендикуляр к \(\alpha\), а значит, и к \(\beta\), так как плоскости параллельны. По условию, \(BD = 20\) см, \(AC = 13\) см, \(CD = 35\) см, а расстояние между прямыми \(AB\) и \(CD\) равно \(12\) см. Требуется найти расстояние между плоскостями — это длина перпендикуляра между ними.

Рассмотрим точку \(K\) — основание перпендикуляра, опущенного из точки \(C\) на плоскость \(\beta\). Так как плоскости параллельны, этот перпендикуляр равен расстоянию между плоскостями. Пусть \(BK\) — расстояние между прямыми \(AB\) и \(CD\), по условию оно равно \(12\) см. Треугольник \(BDK\) прямоугольный: \(BD\) — гипотенуза, \(BK\) — один из катетов, \(DK\) — второй катет, который и есть искомое расстояние между плоскостями.

По теореме Пифагора: \(DK^{2} = BD^{2} — BK^{2}\). Подставляем значения: \(DK^{2} = 20^{2} — 12^{2} = 400 — 144 = 256\), откуда \(DK = \sqrt{256} = 16\) см. Значит, расстояние между плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\) составляет \(16\) см.