ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.45 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Плоскости α и β параллельны. Точки M и K принадлежат плоскости α, а точки N и F — плоскости β. Известно, что MN ⊥ β, MN = 12 см, MK = 4 см, NF = 3 см, KF = 13 см. Найдите расстояние между прямыми MN и KF.

Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, \(MN \perp \beta\), значит расстояние между прямыми \(MN\) и \(KF\) равно расстоянию от точки \(N\) до прямой \(FH\), которая является проекцией \(KF\) на \(\beta\).

По рисунку:
\( \rho(N, FH) = 2{,}4 \) см.

В данной задаче плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, а прямые \(MN\) и \(KF\) лежат в разных плоскостях: \(MN\) соединяет точки \(M\) и \(N\), где \(M\) принадлежит плоскости \(\alpha\), а \(N\) — плоскости \(\beta\); аналогично \(KF\) соединяет точки \(K\) из \(\alpha\) и \(F\) из \(\beta\). Прямая \(MN\) перпендикулярна плоскости \(\beta\), то есть она проходит между двумя параллельными плоскостями по кратчайшему расстоянию.

Чтобы найти расстояние между прямыми \(MN\) и \(KF\), нужно рассмотреть их проекции на одну плоскость. Так как \(MN\) перпендикулярна \(\beta\), ее проекция на \(\beta\) будет точкой \(N\). Прямая \(KF\) пересекает обе плоскости, и ее проекция на \(\beta\) — это прямая \(FH\), где \(H\) — основание перпендикуляра, опущенного из точки \(K\) на плоскость \(\beta\). Тогда расстояние между прямыми \(MN\) и \(KF\) эквивалентно расстоянию от точки \(N\) до прямой \(FH\) в плоскости \(\beta\).

По чертежу и расчетам видно, что расстояние от точки \(N\) до прямой \(FH\) составляет \(2{,}4\) см. Таким образом, искомое расстояние между скрещивающимися прямыми \(MN\) и \(KF\) в параллельных плоскостях равно \(2{,}4\) см, так как это минимальное расстояние между их проекциями в одной из плоскостей.