ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.46 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что AD = AA₁ = 2 см, AB = 4 см. Найдите расстояние между прямыми DA₁ и CD₁.

Введём координаты: \(D(0,2,0)\), \(A_1(0,0,2)\), \(C(4,2,0)\), \(D_1(0,2,2)\).

Направляющие векторы: \(\overrightarrow{DA_1} = (0,-2,2)\), \(\overrightarrow{CD_1} = (-4,0,2)\).

Вектор между точками: \(\overrightarrow{DC} = (4,0,0)\).

Векторное произведение: \(\overrightarrow{DA_1} \times \overrightarrow{CD_1} = (-4,8,-8)\).

Длина этого вектора: \(\sqrt{(-4)^2 + 8^2 + (-8)^2} = 12\).

Смешанное произведение: \(4 \cdot (-4) + 0 \cdot 8 + 0 \cdot (-8) = -16\).

Расстояние между прямыми: \(\frac{16}{12} = \frac{4}{3}\) см.

Для решения задачи введём координаты всех нужных точек параллелепипеда. Пусть точка \(A\) имеет координаты \((0,0,0)\), тогда \(B(4,0,0)\), \(D(0,2,0)\), \(A_1(0,0,2)\), \(C(4,2,0)\), \(D_1(0,2,2)\), \(B_1(4,0,2)\), \(C_1(4,2,2)\). Прямая \(DA_1\) проходит через точки \(D(0,2,0)\) и \(A_1(0,0,2)\), а прямая \(CD_1\) — через точки \(C(4,2,0)\) и \(D_1(0,2,2)\).

Запишем направляющие векторы для этих прямых: \(\overrightarrow{DA_1} = (0,-2,2)\), так как \(A_1-D = (0,0,2)-(0,2,0)=(0,-2,2)\), и \(\overrightarrow{CD_1} = (-4,0,2)\), так как \(D_1-C = (0,2,2)-(4,2,0)=(-4,0,2)\). Для формулы расстояния между скрещивающимися прямыми понадобится также вектор между произвольными точками этих прямых, например, \(\overrightarrow{DC} = (4,0,0)\).

Воспользуемся формулой расстояния между скрещивающимися прямыми: \(\rho = \frac{|\overrightarrow{DC} \cdot (\overrightarrow{DA_1} \times \overrightarrow{CD_1})|}{|\overrightarrow{DA_1} \times \overrightarrow{CD_1}|}\). Сначала вычисляем векторное произведение: \(\overrightarrow{DA_1} \times \overrightarrow{CD_1} = (-4,8,-8)\). Его длина равна \(\sqrt{(-4)^2 + 8^2 + (-8)^2} = \sqrt{16+64+64} = \sqrt{144} = 12\). Далее находим смешанное произведение: \(\overrightarrow{DC} \cdot (\overrightarrow{DA_1} \times \overrightarrow{CD_1}) = 4 \cdot (-4) + 0 \cdot 8 + 0 \cdot (-8) = -16\). Берём модуль: \(16\).

Подставляем значения в формулу: \(\rho = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}\) см. Это и есть искомое расстояние между скрещивающимися прямыми \(DA_1\) и \(CD_1\) в данном параллелепипеде.