ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.48 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро DB тетраэдра DABC перпендикулярно плоскости ABC. Точка M — середина ребра BC. Найдите расстояние между прямыми AC и DM, если BD = 3 см, AC = 12 см, AB = BC = 10 см.

Введём координаты: пусть \(A(0,0,0)\), \(B(10,0,0)\), \(C(x,y,0)\), \(D(d_1,d_2,h)\).
Так как \(AC = 12\), \(AB = 10\), \(BC = 10\), получаем \(x^2 + y^2 = 144\), \((x-10)^2 + y^2 = 100\).

Решая систему:
\(x^2 + y^2 = 144\)
\(x^2 — 20x + 100 + y^2 = 100\)
\(x^2 + y^2 — 20x = 0\)
Подставляем \(x^2 + y^2 = 144\): \(144 — 20x = 0\), значит \(x = 7.2\), \(y^2 = 144 — 51.84 = 92.16\), \(y = 9.6\).

\(M\) — середина \(BC\):
\(M = (\frac{7.2+10}{2}, \frac{9.6}{2}, 0) = (8.6, 4.8, 0)\)

\(D\) лежит над \(B\), так как \(DB\) перпендикуляр к плоскости \(ABC\):
\(D(10, 0, h)\), \(DB = 3\), значит \(h = 3\).

Прямые \(AC\) и \(DM\) — скрещивающиеся. Расстояние между ними:
Вектор \(AC = (7.2, 9.6, 0)\), вектор \(DM = (8.6-10, 4.8-0, 0-3) = (-1.4, 4.8, -3)\).

Вектор между точками \(A\) и \(D\): \((10, 0, 3)\).

Искомое расстояние:
\(r = \frac{|\left[(\vec{AC} \times \vec{DM}) \cdot \vec{AD}\right]|}{|\vec{AC} \times \vec{DM}|}\).

Вычисляем смешанное произведение и длину векторного произведения, получаем
\(r = 2.4\) см.

Сначала введём координаты для всех точек, используя условия задачи. Пусть \(A(0,0,0)\), \(B(10,0,0)\), \(C(x,y,0)\), где \(AB = 10\), \(BC = 10\), \(AC = 12\). Получаем систему: \(x^{2} + y^{2} = 12^{2} = 144\), \((x-10)^{2} + y^{2} = 10^{2} = 100\). Раскроем второе уравнение: \(x^{2} — 20x + 100 + y^{2} = 100\), отсюда \(x^{2} + y^{2} — 20x = 0\). Подставляем первое уравнение: \(144 — 20x = 0\), значит \(x = 7.2\). Тогда \(y^{2} = 144 — 51.84 = 92.16\), \(y = 9.6\). Итак, \(C(7.2, 9.6, 0)\).

Найдём середину \(M\) отрезка \(BC\): \(M = \left(\frac{10+7.2}{2}, \frac{0+9.6}{2}, 0\right) = (8.6, 4.8, 0)\). Точка \(D\) лежит над \(B\), поскольку \(DB\) перпендикулярно плоскости основания. Координаты \(D(10, 0, h)\), длина \(DB = 3\), значит \(h = 3\), и \(D(10, 0, 3)\).

Вектор направления прямой \(AC: \vec{a} = (7.2, 9.6, 0)\). Вектор направления прямой \(DM: \vec{d} = (8.6-10, 4.8-0, 0-3) = (-1.4, 4.8, -3)\). Вектор между точками \(A\) и \(D: \vec{AD} = (10, 0, 3)\). Расстояние между скрещивающимися прямыми вычисляется по формуле: \(r = \frac{|\left((\vec{a} \times \vec{d}) \cdot \vec{AD}\right)|}{|\vec{a} \times \vec{d}|}\).

Вычислим векторное произведение \(\vec{a} \times \vec{d}\):
\(\vec{a} \times \vec{d} = \begin{pmatrix} i & j & k \\ 7.2 & 9.6 & 0 \\ -1.4 & 4.8 & -3 \end{pmatrix} = (9.6 \cdot -3 — 0 \cdot 4.8, 0 \cdot -1.4 — 7.2 \cdot -3, 7.2 \cdot 4.8 — 9.6 \cdot -1.4) = (-28.8, 21.6, 47.52)\). Длина этого вектора: \(\sqrt{(-28.8)^{2} + 21.6^{2} + 47.52^{2}} = \sqrt{829.44 + 466.56 + 2258.7904} = \sqrt{3554.79} \approx 59.67\).

Скалярное произведение \((\vec{a} \times \vec{d}) \cdot \vec{AD} = (-28.8, 21.6, 47.52) \cdot (10, 0, 3) = -28.8 \cdot 10 + 21.6 \cdot 0 + 47.52 \cdot 3 = -288 + 0 + 142.56 = -145.44\). Модуль равен \(145.44\).

Подставляем в формулу расстояния: \(r = \frac{145.44}{59.67} \approx 2.4\) см.