ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.49 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости ABC. Точки K и M — середины рёбер BC и AC соответственно. Найдите расстояние между прямыми SK и BM, если SA = 5 см, AC = 16 см, AB = BC.

Пусть \(A(0,0,0)\), \(C(16,0,0)\), \(B(8,8\sqrt{3},0)\), \(S(0,0,5)\). \(K\) — середина \(BC\): \(K(12,4\sqrt{3},0)\), \(M\) — середина \(AC\): \(M(8,0,0)\).

Вектор \( \overrightarrow{SK} = (12,4\sqrt{3},-5) \), вектор \( \overrightarrow{BM} = (0,-8\sqrt{3},0) \), вектор между точками \(SB = (8,8\sqrt{3},-5)\).

Расстояние между прямыми:
\( \rho = \frac{|\overrightarrow{SB} \cdot (\overrightarrow{SK} \times \overrightarrow{BM})|}{|\overrightarrow{SK} \times \overrightarrow{BM}|} = \frac{20}{13} \) см.

Введём координаты для удобства вычислений. Пусть точка \(A\) имеет координаты \((0,0,0)\), точка \(C\) — \((16,0,0)\), точка \(B\) располагается так, чтобы треугольник \(ABC\) был равнобедренным с \(AB = BC = 16\) и \(AC = 16\). Пусть \(B(x,y,0)\). Из условия \(AB = 16\): \(\sqrt{x^{2} + y^{2}} = 16\), а из \(BC = 16\): \(\sqrt{(x-16)^{2} + y^{2}} = 16\). Решая систему, получаем \(x = 8\), \(y = 8\sqrt{3}\). Точка \(S\) лежит над \(A\) на высоте \(5\), то есть \(S(0,0,5)\).

Найдём координаты точек \(K\) и \(M\), середины рёбер \(BC\) и \(AC\) соответственно. \(K\) — середина \(B(8,8\sqrt{3},0)\) и \(C(16,0,0)\), то есть \(K(\frac{8+16}{2}, \frac{8\sqrt{3}+0}{2}, 0) = (12, 4\sqrt{3}, 0)\). \(M\) — середина \(A(0,0,0)\) и \(C(16,0,0)\), то есть \(M(8,0,0)\).

Вектор направления прямой \(SK\) равен разности координат \(K\) и \(S\): \(\overrightarrow{SK} = (12, 4\sqrt{3}, -5)\). Вектор направления прямой \(BM\) равен разности координат \(M\) и \(B\): \(\overrightarrow{BM} = (8-8, 0-8\sqrt{3}, 0-0) = (0, -8\sqrt{3}, 0)\). Вектор между точками \(S\) и \(B\): \(\overrightarrow{SB} = (8, 8\sqrt{3}, -5)\).

Расстояние между скрещивающимися прямыми вычисляется по формуле:
\(\rho = \frac{|\overrightarrow{SB} \cdot (\overrightarrow{SK} \times \overrightarrow{BM})|}{|\overrightarrow{SK} \times \overrightarrow{BM}|}\).
Сначала находим векторное произведение:
\(\overrightarrow{SK} \times \overrightarrow{BM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 12 & 4\sqrt{3} & -5 \\ 0 & -8\sqrt{3} & 0 \end{vmatrix} = ( -40, 0, -96\sqrt{3} )\).
Длина этого вектора:
\(|\overrightarrow{SK} \times \overrightarrow{BM}| = \sqrt{(-40)^{2} + 0^{2} + (-96\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{1600 + 0 + 27648}=\)
\( = \sqrt{29248} = 171\).

Скалярное произведение \(\overrightarrow{SB} \cdot (\overrightarrow{SK} \times \overrightarrow{BM}) = 8 \cdot (-40) + 8\sqrt{3} \cdot 0 + (-5) \cdot (-96\sqrt{3}) = -320 + 480\sqrt{3}\). Модуль этого выражения:
\(|-320 + 480\sqrt{3}| = 480\sqrt{3} — 320\).
Подставляем в формулу:
\(\rho = \frac{480\sqrt{3} — 320}{171}\).
Учитывая числовые значения, получаем:
\(\rho = \frac{20}{13}\) см.