ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.50 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, сторона которого равна \(4\sqrt{2}\) см. Ребро SC перпендикулярно плоскости основания и равно 2 см. Точки M и K — середины рёбер BC и AB соответственно. Найдите расстояние между прямыми SM и CK.

Основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной \(4\sqrt{2}\) см. Высота пирамиды \(SC = 2\) см, проведена из вершины \(S\) перпендикулярно основанию.

Точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(BC\) и \(AB\). Прямые \(SM\) и \(CN\) в пространстве не пересекаются и не параллельны.

Расстояние между скрещивающимися прямыми \(SM\) и \(CN\) равно длине общего перпендикуляра, который вычисляется по формуле через координаты точек.

В результате вычислений получаем:
\( \rho(SM; CN) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \) см

В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(4\sqrt{2}\) см. Пусть \(A(0,0,0)\), \(B(4\sqrt{2},0,0)\), а координаты точки \(C\) определим из условия равенства сторон: по формуле расстояния между точками координата \(x\) у \(C\) будет \(2\sqrt{2}\), а \(y\) — \(2\sqrt{6}\), так как \(AC=BC=4\sqrt{2}\). Тогда \(C(2\sqrt{2},2\sqrt{6},0)\). Вершина пирамиды \(S\) расположена над \(C\) на высоте \(SC=2\), то есть \(S(2\sqrt{2},2\sqrt{6},2)\).

Точка \(M\) — середина \(BC\): \(B(4\sqrt{2},0,0)\), \(C(2\sqrt{2},2\sqrt{6},0)\), значит, \(M\left(\frac{4\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2},\frac{0+2\sqrt{6}}{2},0\right) = (3\sqrt{2},\sqrt{6},0)\). Точка \(N\) — середина \(AB\): \(A(0,0,0)\), \(B(4\sqrt{2},0,0)\), значит, \(N(2\sqrt{2},0,0)\).

Прямая \(SM\) проходит через \(S(2\sqrt{2},2\sqrt{6},2)\) и \(M(3\sqrt{2},\sqrt{6},0)\), её направляющий вектор \( \vec{SM} = (\sqrt{2}, -\sqrt{6}, -2) \). Прямая \(CN\) проходит через \(C(2\sqrt{2},2\sqrt{6},0)\) и \(N(2\sqrt{2},0,0)\), её направляющий вектор \( \vec{CN} = (0, -2\sqrt{6}, 0) \). Расстояние между скрещивающимися прямыми \(SM\) и \(CN\) вычисляется по формуле: \( \rho = \frac{|\vec{a} \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \), где \( \vec{a} \) — вектор между начальной точкой одной прямой и начальной точкой другой прямой, \( \vec{b_1}, \vec{b_2} \) — направляющие векторы прямых. Подставляя значения, получаем \( \rho = \frac{2\sqrt{3}}{3} \) см.