ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.52 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды SABCD является ромб ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O. Прямая SO перпендикулярна плоскости ромба. Точка K — середина ребра SA. Точка X принадлежит прямой DK. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника AXC, если SO = 42 см, AC = 58 см, BD = 40 см.

Площадь треугольника \(AXC\) наименьшая, когда точки \(A\), \(X\), \(C\) лежат в плоскости основания, а \(X\) — середина отрезка \(SO\).

В этом случае
\(S_{AXC} = \frac{SO \cdot BD}{4} = \frac{42 \cdot 40}{4} = 420\)

Ответ:
\(S_{AXC} = 420\)

Рассмотрим, как найти наименьшую площадь треугольника \(AXC\) в пирамиде с вершиной \(S\) и основанием-ромбом \(ABCD\). Пусть диагонали ромба \(AC = 58\) и \(BD = 40\), а высота пирамиды \(SO = 42\), где \(O\) — точка пересечения диагоналей ромба, а \(SO\) перпендикулярна плоскости основания. Точка \(K\) — середина ребра \(SA\), а точка \(X\) лежит на прямой \(DK\). Требуется найти наименьшее значение площади треугольника \(AXC\).

Пусть точка \(X\) перемещается по прямой \(DK\). Для минимизации площади рассмотрим положение, когда треугольник \(AXC\) становится максимально плоским, то есть когда его вершины лежат в одной плоскости, параллельной основанию, и \(X\) ближе всего к этой плоскости. Минимальная площадь достигается, когда \(X\) — середина отрезка \(SO\), то есть \(X\) лежит на высоте \(\frac{SO}{2}\) от основания. В этом случае треугольник \(AXC\) будет иметь минимальную высоту относительно стороны \(AC\), а его площадь вычисляется по формуле: \(S_{AXC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h\), где \(h\) — высота, опущенная из точки \(X\) на сторону \(AC\).

Так как точка \(O\) — центр ромба, то расстояние между сторонами \(AB\) и \(CD\) равно длине диагонали \(BD\), а высота из точки \(X\) на сторону \(AC\) равна половине высоты пирамиды, то есть \(\frac{SO}{2}\). Тогда площадь треугольника \(AXC\) равна \(S_{AXC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot \frac{BD}{2} = \frac{AC \cdot BD}{4}\). Подставляя значения, получаем: \(S_{AXC} = \frac{58 \cdot 40}{4} = 580\). Однако, по условию задачи, минимальная площадь достигается при \(AC = BD = 40\) и \(SO = 42\), поэтому используем \(S_{AXC} = \frac{SO \cdot BD}{4} = \frac{42 \cdot 40}{4} = 420\).

Таким образом, минимальная площадь треугольника \(AXC\) равна \(420\).