ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.54 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 12 : 25, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите радиус вписанной окружности, если площадь треугольника равна 1680 см².

Дано: равнобедренный треугольник, боковая сторона делится точкой касания в отношении \(12:25\), площадь \(1680\, \text{см}^2\).

Пусть боковая сторона \(AB = BC = 37x\), основание \(AC = 24x\).

Площадь: \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 24x \cdot 35x = 420x^2\).

\(1680 = 420x^2\), значит \(x = \frac{1680}{420} = 4\).

Высота \(BH = 35x = 140\, \text{см}\).

Радиус вписанной окружности: \(r = \frac{S}{p}\), где \(p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{37x + 37x + 24x}{2} = 49x\).

\(r = \frac{1680}{49 \cdot 4} = \frac{1680}{196} = \frac{120}{7}\, \text{см}\).

Ответ: \(r = \frac{120}{7}\, \text{см}\).

1. Пусть равнобедренный треугольник \(ABC\) с основанием \(AC\) и боковыми сторонами \(AB = BC\). Пусть точка касания делит боковую сторону \(AB\) в отношении \(12:25\), считая от вершины \(A\).

2. Обозначим боковую сторону \(AB = 37x\), основание \(AC = 24x\), где \(x\) — общий множитель.

3. Полупериметр треугольника: \(p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{37x + 37x + 24x}{2} = \frac{98x}{2} = 49x\).

4. Площадь треугольника дана: \(S = 1680\).

5. Радиус вписанной окружности находится по формуле: \(r = \frac{S}{p}\).

6. Найдём \(x\). Так как точка касания делит каждую боковую сторону на отрезки \(12x\) и \(25x\), а основание \(AC = 12x + 12x = 24x\), высота из вершины к основанию найдётся по формуле площади: \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h\).

7. Пусть высота к основанию \(h\). Тогда \(1680 = \frac{1}{2} \cdot 24x \cdot h\), отсюда \(h = \frac{1680 \cdot 2}{24x} = \frac{3360}{24x} = \frac{140}{x}\).

8. В равнобедренном треугольнике с основанием \(24x\) и боковой стороной \(37x\) высота \(h\) выражается через теорему Пифагора: \(h^{2} + (\frac{24x}{2})^{2} = (37x)^{2}\), то есть \(h^{2} + 144x^{2} = 1369x^{2}\), значит \(h^{2} = 1225x^{2}\), \(h = 35x\).

9. Сравним два выражения для высоты: \(35x = \frac{140}{x}\), отсюда \(35x^{2} = 140\), \(x^{2} = 4\), \(x = 2\).

10. Тогда радиус вписанной окружности: \(r = \frac{1680}{49x}\). При \(x = 2\) получаем \(r = \frac{1680}{98} = \frac{840}{49} = \frac{120}{7}\).

Ответ: \(r = \frac{120}{7}\) см.