ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 11.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что если точка принадлежит прямой, перпендикулярной плоскости многоугольника и проходящей через центр окружности, описанной около многоугольника, то эта точка равноудалена от вершин многоугольника.

Пусть точка \(M\) лежит на прямой, проходящей через центр окружности \(O\) и перпендикулярной плоскости треугольника \(ABC\). Тогда расстояния от \(M\) до всех вершин треугольника равны, то есть \(MA = MB = MC\).

Это следует из симметрии относительно центра окружности: все вершины треугольника равноудалены от \(O\), а \(M\) находится на оси симметрии, проходящей через \(O\) и перпендикулярной плоскости треугольника. Следовательно, треугольники \(BMO\), \(CMO\) и \(AMO\) равны по двум сторонам и углу между ними, значит \(MA = MB = MC\).

1. Пусть \(\triangle ABC\) вписан в окружность с центром \(O\). Прямая \(\ell\) проходит через \(O\) и перпендикулярна плоскости треугольника \(ABC\).

2. Возьмём точку \(M\) на прямой \(\ell\). Проведём из \(M\) перпендикуляр \(MH\) к плоскости треугольника, где \(H\) — основание перпендикуляра.

3. Точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат на окружности радиуса \(R\) с центром \(O\), значит \(OA = OB = OC = R\).

4. Рассмотрим треугольники \(MAB\), \(MBC\), \(MAC\). В них стороны \(MA\), \(MB\), \(MC\) — искомые расстояния.

5. Из-за симметрии относительно центра окружности и оси \(\ell\), все вершины треугольника равноудалены от \(O\), а \(M\) лежит на оси симметрии.

6. Треугольники \(MOA\), \(MOB\), \(MOC\) равны по двум сторонам (\(MO\) — общая, \(OA = OB = OC\)) и углу между ними, так как угол между \(MO\) и каждым из радиусов одинаков.

7. Следовательно, \(MA = MB = MC\).

8. Таким образом, для любой точки \(M\) на прямой, проходящей через центр окружности и перпендикулярной плоскости треугольника, выполняется равенство расстояний до всех вершин: \(MA = MB = MC\).

9. Это и требовалось доказать.

10. Ч.т.д.