ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 12.1 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На рисунке 12.8 изображён квадрат ABCD, прямая NC перпендикулярна его плоскости. Докажите, что прямые BD и NO перпендикулярны.

Дано: квадрат \(ABCD\), \(NC \perp (ABCD)\).

Диагональ \(BD\) лежит в плоскости квадрата \(ABCD\), а \(NO\) — часть прямой \(NC\), которая перпендикулярна всей плоскости квадрата.

По свойству: если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Значит, \(BD \perp NO\).

Пусть дан квадрат \(ABCD\), лежащий в некоторой плоскости. Диагональ \(BD\) — это отрезок, соединяющий противоположные вершины квадрата, и он целиком принадлежит плоскости квадрата. Пусть \(N\) — точка вне плоскости квадрата, а \(NC\) — прямая, проходящая через точку \(N\) и точку \(C\), причём \(NC\) перпендикулярна плоскости квадрата \(ABCD\). Обозначим точку пересечения прямой \(NC\) с плоскостью квадрата как \(O\), и рассмотрим прямую \(NO\), которая лежит на \(NC\).

По определению, если прямая \(NC\) перпендикулярна плоскости \(ABCD\), то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, это означает, что для любой прямой, например, диагонали квадрата \(BD\), выполняется \(NC \perp BD\). Поскольку \(NO\) — это часть прямой \(NC\), то и \(NO\) также будет перпендикулярна любой прямой в плоскости квадрата, в том числе и \(BD\).

Таким образом, из того, что \(NC \perp (ABCD)\), а \(BD\) лежит в плоскости \(ABCD\), по свойству перпендикулярности прямой и плоскости, следует, что \(BD \perp NO\). Это утверждение справедливо для любой прямой, лежащей в плоскости, относительно прямой, перпендикулярной этой плоскости.