ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 12.10 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Отрезок DA — перпендикуляр к плоскости треугольника ABC, AB = 10 см, AC = 17 см, BC = 21 см. Найдите расстояние от точки D до прямой BC, если расстояние от точки D до плоскости ABC равно 15 см.

Площадь треугольника \(ABC\) по формуле Герона: \(S = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} = 84\,\text{см}^2\).

Высота из точки \(A\) на \(BC\): \(h = \frac{2 \cdot 84}{21} = 8\,\text{см}\).

Расстояние от точки \(D\) до прямой \(BC\): \(DH = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17\,\text{см}\).

Сначала вычисляем площадь треугольника \(ABC\) по формуле Герона. Для этого находим полупериметр: \(p = \frac{10 + 17 + 21}{2} = 24\) см. Подставляем значения в формулу: \(S = \sqrt{24 \cdot (24 — 10) \cdot (24 — 17) \cdot (24 — 21)}\). Получаем выражение: \(S = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3}\). Перемножив внутри корня: \(24 \cdot 14 = 336\), \(336 \cdot 7 = 2352\), \(2352 \cdot 3 = 7056\), значит \(S = \sqrt{7056} = 84\) см\(^2\).

Чтобы найти высоту из вершины \(A\) на сторону \(BC\), используем формулу площади: \(S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h\), где \(h\) — высота из \(A\) на \(BC\). Подставляем значения: \(84 = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot h\). Отсюда \(h = \frac{2 \cdot 84}{21}\). Считаем числитель: \(2 \cdot 84 = 168\), делим: \(h = \frac{168}{21} = 8\) см.

Так как \(DA\) — высота к плоскости \(ABC\) и равна 15 см, а \(AH\) — расстояние от точки \(A\) до стороны \(BC\) и равно 8 см, искомое расстояние от точки \(D\) до прямой \(BC\) находится по теореме Пифагора: \(DH = \sqrt{DA^{2} + AH^{2}}\). Подставляем значения: \(DH = \sqrt{15^{2} + 8^{2}} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17\) см.