ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 12.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Отрезок AB — диаметр окружности с центром O, отрезок BC — её хорда, AB = 12 см, ∠ABC = 30°. Отрезок AE — перпендикуляр к плоскости данной окружности. Найдите расстояние от точки E до плоскости окружности, если расстояние от точки E до прямой BC равно 10 см.

В треугольнике \(ABC\) угол \(30^\circ\), \(AB = 12\) см — диаметр, значит \(AC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\) см.

В треугольнике \(AEC\) по теореме Пифагора: \(AE^2 = EC^2 — AC^2 = 10^2 — 6^2 = 100 — 36 = 64\).

\(AE = \sqrt{64} = 8\) см.

В задаче дана окружность с диаметром \(AB = 12\) см, и точка \(C\) лежит на окружности так, что угол \(ABC = 30^\circ\). Так как \(AB\) — диаметр, а точка \(C\) лежит на окружности, воспользуемся свойством окружности: если угол опирается на диаметр, то треугольник \(ABC\) прямоугольный. По условию, хорда \(BC\) и расстояние от точки \(E\) до хорды \(EC = 10\) см, а \(AE\) — это расстояние от точки \(E\) до плоскости окружности, которое требуется найти.

Сначала найдём длину отрезка \(AC\), который является половиной диаметра, так как если рассмотреть треугольник \(ABC\) с углом \(30^\circ\) при вершине \(B\), то \(AC\) будет противолежащим катетом к этому углу в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза \(AB = 12\) см. Следовательно, \(AC = \frac{1}{2} \cdot AB = 6\) см.

Далее рассмотрим прямоугольный треугольник \(AEC\), где \(EC = 10\) см, а \(AC = 6\) см. Применяя теорему Пифагора к этому треугольнику, получаем: \(AE^{2} = EC^{2} — AC^{2}\). Подставляем значения: \(AE^{2} = 10^{2} — 6^{2} = 100 — 36 = 64\). Таким образом, \(AE = \sqrt{64} = 8\) см.

Ответ: расстояние от точки \(E\) до плоскости окружности равно \(8\) см.