ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 12.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка M равноудалена от всех прямых, содержащих стороны правильного треугольника ABC. Проекцией точки M на плоскость ABC является точка O, принадлежащая треугольнику. Найдите расстояние от точки M до стороны AB, если расстояние от этой точки до плоскости ABC равно 3√2 см, AB = 18 см.

В правильном треугольнике расстояние от центра к стороне: \(OE = \frac{18 \cdot \sqrt{3}}{6} = 3\sqrt{3}\) см.

Расстояние от точки до плоскости: \(MO = 3\sqrt{2}\) см.

По теореме Пифагора: \(ME^2 = MO^2 + OE^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{3})^2 = 18 + 27 = 45\).

\(ME = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\) см.

В правильном треугольнике со стороной \(AB = 18\) см центр треугольника \(O\) равноудален от всех сторон, и расстояние от центра до любой стороны (например, \(OE\)) вычисляется как треть высоты треугольника. Высота правильного треугольника равна \(h = \frac{18 \cdot \sqrt{3}}{2}\), а расстояние от центра до стороны \(OE = \frac{h}{3} = \frac{18 \cdot \sqrt{3}}{6} = 3\sqrt{3}\) см.

Точка \(M\) расположена в пространстве так, что её расстояние до плоскости треугольника (\(MO\)) составляет \(3\sqrt{2}\) см. Точка \(M\) находится над центром треугольника, то есть над точкой \(O\), и искомое расстояние от точки \(M\) до стороны (\(ME\)) можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного треугольника, где один катет — расстояние от центра до стороны (\(OE\)), а другой катет — расстояние от точки до плоскости (\(MO\)).

Применяя теорему Пифагора, получаем: \(ME^2 = MO^2 + OE^2\). Подставляем значения: \(ME^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 2 + 9 \cdot 3 = 18 + 27 = 45\). Тогда \(ME = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\) см.