ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 12.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона ромба равна 10 см, а одна из диагоналей — 16 см. Точка M находится на расстоянии 5,2 см от каждой прямой, содержащей сторону ромба. Найдите расстояние от точки M до плоскости ромба.

Точка M равноудалена от всех сторон ромба на 5,2 см, это расстояние от точки до плоскости ромба — высота правильной четырехугольной пирамиды, основание которой — ромб, а боковые ребра — 5,2 см.

Пусть O — центр ромба, а MO — искомое расстояние. Расстояние от центра ромба до стороны равно \( h = \frac{S}{p/2} \), где \( S \) — площадь ромба, \( p \) — периметр.

Площадь ромба: \( S = \frac{16 \times 12}{2} = 96 \) см\(^2\), периметр \( 4 \times 10 = 40 \) см.

Расстояние от центра до стороны: \( d = \frac{96}{20} = 4,8 \) см.

MO находим по теореме Пифагора: \( MO = \sqrt{5,2^2 — 4,8^2} = \sqrt{27,04 — 23,04} = \sqrt{4} = 2 \) см.

Рассмотрим ромб, у которого сторона равна 10 см, а одна из диагоналей — 16 см. По свойству ромба его диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Пусть диагонали — \(d_1 = 16\) см и \(d_2\). По теореме Пифагора для половинок диагоналей: если половина одной диагонали равна 8 см (\(\frac{16}{2}\)), то половина второй диагонали найдётся как \( \sqrt{10^2 — 8^2} = \sqrt{100 — 64} = \sqrt{36} = 6 \) см, значит, вторая диагональ \(d_2 = 12\) см.

Площадь ромба можно найти по формуле \( S = \frac{d_1 \times d_2}{2} \), то есть \( S = \frac{16 \times 12}{2} = 96 \) см\(^2\). Периметр ромба равен \( 4 \times 10 = 40 \) см. Расстояние от центра ромба до его стороны (высота опущенная из центра на сторону) вычисляется по формуле \( h = \frac{S}{p/2} \), где \( p \) — периметр, то есть \( h = \frac{96}{20} = 4,8 \) см.

Точка \( M \) находится на расстоянии 5,2 см от каждой стороны ромба. Это расстояние — боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды, основанием которой служит ромб, а вершина — точка \( M \) над центром ромба. Искомое расстояние \( MO \) — это высота этой пирамиды, которую можно найти по теореме Пифагора, поскольку боковое ребро, высота и расстояние от центра до стороны образуют прямоугольный треугольник: \( MO = \sqrt{5,2^2 — 4,8^2} = \sqrt{27,04 — 23,04} = \sqrt{4} = 2 \) см.