ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 12.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка M не принадлежит плоскости треугольника ABC (∠ACB = 90°) и находится на расстоянии 2√5 см от каждой из прямых, содержащих его стороны. Проекцией точки M на плоскость ABC является точка O, принадлежащая данному треугольнику. Точка касания окружности, вписанной в треугольник ABC, с гипотенузой AB делит её на отрезки длиной 3 см и 10 см. Найдите расстояние от точки M до плоскости ABC.

Длины сторон треугольника: \(AK = 3\), \(KB = 10\), значит \(AB = 13\). Пусть \(CM = CN = x\), тогда \(AC = x + 3\), \(BC = x + 10\).

По теореме Пифагора: \((x+3)^2 + (x+10)^2 = 13^2\).

Раскрываем скобки: \(x^2 + 6x + 9 + x^2 + 20x + 100 = 169\), получаем \(2x^2 + 26x + 109 = 169\), то есть \(2x^2 + 26x — 60 = 0\).

Делим на 2: \(x^2 + 13x — 30 = 0\).

Дискриминант: \(D = 13^2 + 4 \cdot 30 = 169 + 120 = 289\).

Корень: \(x = \frac{-13 + 17}{2} = 2\).

Расстояние от точки \(M\) до плоскости треугольника равно расстоянию от точки до сторон, то есть \(2\sqrt{5}\).

Ответ: \(MO = 2\sqrt{5}\) см.

Пусть треугольник \(ABC\) прямоугольный, причем \(\angle C = 90^\circ\). Вписанная окружность касается гипотенузы \(AB\) в точке \(K\), причем \(AK = 3\) и \(KB = 10\), значит длина гипотенузы \(AB = 3 + 10 = 13\). Пусть точки касания вписанной окружности с катетами \(AC\) и \(BC\) обозначим как \(M\) и \(N\), а длины отрезков касания \(CM = CN = x\). Тогда по свойствам касательных из одной точки \(AC = AK + CN = 3 + x\), \(BC = BK + CM = 10 + x\).

Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника: \((x + 3)^2 + (x + 10)^2 = 13^2\). Раскрываем скобки и приводим подобные: \(x^2 + 6x + 9 + x^2 + 20x + 100 = 169\), то есть \(2x^2 + 26x + 109 = 169\). Переносим все в одну сторону: \(2x^2 + 26x + 109 — 169 = 0\), получаем \(2x^2 + 26x — 60 = 0\). Делим на 2: \(x^2 + 13x — 30 = 0\). Находим дискриминант: \(D = 13^2 + 4 \cdot 30 = 169 + 120 = 289\). Корни уравнения: \(x_1 = \frac{-13 + 17}{2} = 2\), \(x_2 = \frac{-13 — 17}{2} = -15\). Отрицательный корень не подходит, значит \(x = 2\).

По условию расстояния от точки \(M\) до всех сторон треугольника равны \(2\sqrt{5}\) и эти расстояния соответствуют высоте из точки \(M\) к плоскости треугольника. Так как точка \(O\) — проекция \(M\) на плоскость треугольника, то перпендикуляр \(MO\) равен этим расстояниям. Следовательно, расстояние от точки \(M\) до плоскости \(ABC\) равно \(2\sqrt{5}\) см.

Ответ: \(MO = 2\sqrt{5}\) см.