ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 12.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка M не принадлежит плоскости многоугольника, а её проекцией на плоскость многоугольника является центр окружности, вписанной в многоугольник. Докажите, что точка M равноудалена от сторон данного многоугольника.

Пусть \(O\) — центр вписанной окружности многоугольника, а \(r\) — радиус. Точка \(M\) проецируется в \(O\).

Рассмотрим расстояния от \(M\) до сторон многоугольника, например, \(MD, ME, MF\). Треугольники \(MOD, MOE, MOF\) прямоугольные, так как \(O\) — центр окружности, а \(OD = OE = OF = r\).

В этих треугольниках:
1) \(MO\) — общая сторона;
2) \(OD = OE = OF = r\).

По двум катетам треугольники равны, значит, \(MD = ME = MF\).

Следовательно, точка \(M\) равноудалена от всех сторон многоугольника.

Пусть дан многоугольник, в который вписана окружность с центром в точке \(O\) и радиусом \(r\). Точка \(M\) не лежит в плоскости многоугольника, а её ортогональная проекция на эту плоскость совпадает с точкой \(O\). Требуется доказать, что расстояния от точки \(M\) до всех сторон многоугольника равны между собой.

Рассмотрим произвольную сторону многоугольника, например, \(DE\). Пусть \(F\) — точка касания вписанной окружности с этой стороной. Поскольку \(O\) — центр окружности, расстояния от \(O\) до каждой стороны равны радиусу окружности, то есть \(OF = r\). Теперь рассмотрим треугольник \(MOF\), где \(M\) — точка вне плоскости, \(O\) — её проекция, а \(F\) — точка касания. В этом треугольнике \(MO\) — перпендикуляр от \(M\) к плоскости многоугольника, а \(OF = r\) — расстояние от центра окружности до стороны. Аналогично строятся треугольники для других сторон: \(MOD\), \(MOE\) и так далее.

Поскольку \(MO\) — общая высота для всех таких треугольников, а \(OF = OD = OE = r\) по определению вписанной окружности, то в каждом из этих треугольников два катета равны: \(MO\) и, например, \(OF\). Поэтому треугольники \(MOF\), \(MOD\), \(MOE\) и другие, построенные аналогично для каждой стороны, равны по двум катетам. Следовательно, гипотенузы этих треугольников, то есть расстояния от точки \(M\) до каждой стороны многоугольника, равны между собой: \(MF = MD = ME\).

Таким образом, точка \(M\) равноудалена от всех сторон многоугольника, если её проекция совпадает с центром вписанной окружности этого многоугольника. Это утверждение справедливо для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, и для любой точки \(M\), проекция которой совпадает с центром этой окружности.