ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 12.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка O — центр окружности, вписанной в трапецию ABCD, BC ∥ AD, AB ⟂ AD, CD = 12 см, ∠ADC = 45°. Отрезок MO — перпендикуляр к плоскости трапеции. Точка M удалена от плоскости трапеции на 6√2 см. Найдите расстояние от точки M до сторон трапеции.

В треугольнике \(CHD\) угол \(C = 45^\circ\), \(CD = 12\). Пусть \(CH = HD = x\). Тогда по теореме Пифагора: \(2x^2 = 144\), откуда \(x = 6\sqrt{2}\).

Радиус вписанной окружности \(r = 3\sqrt{2}\).

Расстояние от точки \(M\) до любой стороны трапеции: \(MK = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{72 + 18} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}\).

Ответ: \(3\sqrt{10}\) см.

Рассмотрим трапецию \(ABCD\), в которой \(BC \parallel AD\), \(AB \perp AD\), а \(CD = 12\) и угол \(ADC = 45^\circ\). Если рассмотреть треугольник \(CHD\), где точки \(C\) и \(D\) — основания трапеции, а \(H\) — проекция вершины \(A\) на \(CD\), то этот треугольник является равнобедренным прямоугольным, так как угол при вершине \(D\) равен \(45^\circ\). Пусть \(CH = HD = x\). По теореме Пифагора: \(CH^2 + HD^2 = CD^2\), то есть \(x^2 + x^2 = 12^2\), отсюда \(2x^2 = 144\), значит \(x^2 = 72\), а \(x = 6\sqrt{2}\). Таким образом, каждое из оснований этого треугольника равно \(6\sqrt{2}\).

Вписанная окружность касается всех сторон трапеции, а её радиус равен расстоянию от центра окружности \(O\) до любой стороны. Поскольку трапеция вписанная, центр окружности \(O\) одинаково удалён от всех сторон, и радиус окружности равен половине высоты равнобедренного прямоугольного треугольника, то есть \(r = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\).

Точка \(M\) расположена на перпендикуляре к плоскости трапеции, проходящем через центр окружности \(O\), и удалена от плоскости на \(6\sqrt{2}\). Нужно найти расстояние от точки \(M\) до точек касания окружности со сторонами трапеции, то есть до точек \(E, F, G, K\). Так как \(O\) — центр окружности, а расстояние от \(O\) до точки касания любой стороны равно радиусу \(r = 3\sqrt{2}\), то расстояние от \(M\) до каждой такой точки вычисляется по теореме Пифагора: \(MK = \sqrt{MO^2 + OK^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{72 + 18} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}\).

Ответ: \(3\sqrt{10}\) см.