ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 12.21 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка M удалена от параллельных прямых a и b соответственно на 10 см и 17 см, а от плоскости, проходящей через прямые a и b, на 8 см. Найдите расстояние между прямыми a и b.

Пусть \( MO = 8 \) см — расстояние от точки до плоскости, \( KM = 10 \) см и \( MN = 17 \) см — расстояния от точки до прямых.

Находим перпендикуляры от точки до прямых в плоскости:

\( KO = \sqrt{KM^2 — MO^2} = \sqrt{10^2 — 8^2} = \sqrt{36} = 6 \) см

\( NO = \sqrt{MN^2 — MO^2} = \sqrt{17^2 — 8^2} = \sqrt{225} = 15 \) см

Расстояние между прямыми: если по одну сторону — \( 15 + 6 = 21 \) см, если по разные — \( 15 — 6 = 9 \) см.

Рассмотрим точку \( M \), которая расположена вне плоскости, проходящей через две параллельные прямые \( a \) и \( b \). Пусть расстояние от точки \( M \) до прямой \( a \) равно \( 10 \) см, а до прямой \( b \) — \( 17 \) см. Расстояние от точки \( M \) до самой плоскости, в которой лежат эти прямые, составляет \( 8 \) см. Задача сводится к нахождению расстояния между прямыми \( a \) и \( b \).

Проведём из точки \( M \) перпендикуляр \( MO \) к плоскости, проходящей через прямые \( a \) и \( b \). Пусть точки \( K \) и \( N \) — основания перпендикуляров из \( M \) на прямые \( a \) и \( b \) соответственно. Тогда треугольники \( MOK \) и \( MON \) — прямоугольные, где \( MO \) — высота, а \( KM \) и \( MN \) — гипотенузы, равные расстояниям от точки \( M \) до прямых \( a \) и \( b \). По теореме Пифагора получаем: \( KO = \sqrt{KM^2 — MO^2} = \sqrt{10^2 — 8^2} = \sqrt{100 — 64} = \sqrt{36} = 6 \) см и \( NO = \sqrt{MN^2 — MO^2} = \sqrt{17^2 — 8^2} = \sqrt{289 — 64} = \sqrt{225} = 15 \) см.

Расстояние между прямыми \( a \) и \( b \) определяется как сумма или разность отрезков \( KO \) и \( NO \), в зависимости от взаимного расположения точек \( K \) и \( N \) относительно основания \( O \) перпендикуляра \( MO \). Если точки \( K \) и \( N \) лежат по одну сторону от \( O \), то расстояние между прямыми равно \( KO + NO = 6 + 15 = 21 \) см. Если точки лежат по разные стороны от \( O \), то расстояние между прямыми равно \( NO — KO = 15 — 6 = 9 \) см. Таким образом, возможны оба варианта расположения, и расстояние между прямыми может быть либо \( 21 \) см, либо \( 9 \) см.