ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 12.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между прямыми A₁C и B₁D₁.

В кубе \(A_1C\) и \(B_1D_1\) — диагонали двух взаимно перпендикулярных граней. Диагонали таких граней всегда пересекаются под углом \(90^\circ\).

Ответ: угол между прямыми \(A_1C\) и \(B_1D_1\) равен \(90^\circ\).

Рассмотрим куб с вершинами \(A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1\), где \(A_1, B_1, C_1, D_1\) — вершины верхней грани, а \(A, B, C, D\) — вершины нижней грани. Прямая \(A_1C\) соединяет вершину \(A_1\) (верхняя грань) с вершиной \(C\) (нижняя грань, диагонально противоположная). Прямая \(B_1D_1\) — это диагональ верхней грани куба, соединяющая вершины \(B_1\) и \(D_1\).

Для нахождения угла между прямыми \(A_1C\) и \(B_1D_1\) удобно воспользоваться координатами. Пусть длина ребра куба равна \(a\). Тогда координаты вершин: \(A_1(0, 0, a)\), \(C(a, a, 0)\), \(B_1(a, 0, a)\), \(D_1(0, a, a)\). Вектор \(A_1C\) равен \((a, a, -a)\), а вектор \(B_1D_1\) равен \((-a, a, 0)\). Угол между этими векторами можно найти по формуле: \(\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}\), где \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) — соответствующие векторы.

Скалярное произведение векторов: \((a, a, -a) \cdot (-a, a, 0) = a \cdot (-a) + a \cdot a + (-a) \cdot 0 = -a^2 + a^2 + 0 = 0\). Длины векторов: \(|A_1C| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}\), \(|B_1D_1| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + 0^2} = a\sqrt{2}\). Тогда \(\cos \theta = \frac{0}{a\sqrt{3} \cdot a\sqrt{2}} = 0\), значит угол \(\theta = 90^\circ\).

Таким образом, угол между прямыми \(A_1C\) и \(B_1D_1\) равен \(90^\circ\), потому что соответствующие векторы перпендикулярны друг другу, а их скалярное произведение равно нулю.