Учебник «Геометрия. 10 класс. Углубленный уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.В. Номировского и В.Б. Полонского предназначен для школьников, стремящихся к глубокому освоению геометрии и подготовке к профильным экзаменам. Издание полностью соответствует современным образовательным стандартам и охватывает расширенный курс геометрии для 10 класса, позволяя развивать аналитические и пространственные навыки на высоком уровне.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 12.23 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы
Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Докажите, что CD₁ ⟂ AB₁C₁.
В кубе \(ABCD A_1B_1C_1D_1\) прямая \(CD_1\) проходит через вершину \(C\) и вершину \(D_1\).
Плоскость \(AB_1C_1\) содержит прямые \(AB_1\) и \(B_1C_1\).
Прямая \(CD_1\) перпендикулярна ребру \(DC_1\), которое лежит в плоскости \(AB_1C_1\).
Следовательно, \(CD_1 \perp AB_1C_1\).
Пусть дан куб \(ABCD A_1B_1C_1D_1\), где все его рёбра равны и взаимно перпендикулярны. Прямая \(CD_1\) соединяет вершину основания \(C\) и вершину верхнего основания \(D_1\), то есть является диагональю боковой грани куба. Плоскость \(AB_1C_1\) проходит через три вершины: \(A\) — вершина основания, \(B_1\) и \(C_1\) — вершины верхнего основания. Заметим, что плоскость \(AB_1C_1\) содержит ребро \(B_1C_1\) и точку \(A\).
Рассмотрим взаимное расположение прямой \(CD_1\) и плоскости \(AB_1C_1\). Прямая \(CD_1\) пересекает грань \(CC_1D_1D\) куба, являясь её диагональю. Эта грань перпендикулярна основанию куба \(ABCD\), а значит, любая диагональ этой грани, в частности \(CD_1\), будет перпендикулярна стороне основания, например, \(DC\). Кроме того, сторона \(DC\) лежит в плоскости \(ABCD\), а плоскость \(AB_1C_1\) проходит через точку \(C_1\), которая соединена с \(C\) ребром \(CC_1\), перпендикулярным основанию.
Чтобы доказать, что \(CD_1\) перпендикулярна плоскости \(AB_1C_1\), достаточно показать, что \(CD_1\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В плоскости \(AB_1C_1\) такими прямыми могут быть \(AB_1\) и \(B_1C_1\). Прямая \(CD_1\) по построению куба перпендикулярна основанию \(ABCD\), а значит, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этом основании, включая проекции \(AB_1\) и \(B_1C_1\) на основание. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости.
Таким образом, прямая \(CD_1\) перпендикулярна плоскости \(AB_1C_1\), так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости, а именно \(AB_1\) и \(B_1C_1\), что следует из свойств куба и взаимного расположения его рёбер и диагоналей. Следовательно, \(CD_1 \perp AB_1C_1\).
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!