ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 12.24 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точки E, F и M — середины рёбер AB, AD и AA₁ соответственно. Докажите, что AC₁ ⟂ EFM.

В плоскости \(EFM\) лежит середина \(M\) ребра \(AA_1\), а также середины \(E\) и \(F\) рёбер \(AB\) и \(AD\). \(MF\) — средняя линия квадрата \(AA_1D_1D\), она параллельна \(A_1D\) и проходит через \(M\) и \(F\).

Диагональ \(AC_1\) куба перпендикулярна ребру \(A_1D\), значит \(AC_1 \perp MF\).

Так как \(AC_1\) проходит через точку \(M\), а \(MF \subset EFM\), то \(AC_1 \perp EFM\).

Рассмотрим куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), где точки \(E\), \(F\) и \(M\) — середины рёбер \(AB\), \(AD\) и \(AA_1\) соответственно. Пусть длина ребра куба равна \(a\). Тогда координаты вершин: \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(C(a,a,0)\), \(D(0,a,0)\), \(A_1(0,0,a)\), \(B_1(a,0,a)\), \(C_1(a,a,a)\), \(D_1(0,a,a)\). Тогда координаты точек: \(E(\frac{a}{2},0,0)\), \(F(0,\frac{a}{2},0)\), \(M(0,0,\frac{a}{2})\).

Плоскость \(EFM\) проходит через точки \(E\), \(F\), \(M\). Составим её уравнение. Найдём вектор \(EF = F — E = (-\frac{a}{2},\frac{a}{2},0)\) и вектор \(EM = M — E = (-\frac{a}{2},0,\frac{a}{2})\). Их векторное произведение:
\((EF) \times (EM) = \begin{vmatrix}
i & j & k \\
-\frac{a}{2} & \frac{a}{2} & 0 \\
-\frac{a}{2} & 0 & \frac{a}{2}
\end{vmatrix} = i \left(\frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} — 0 \cdot 0\right) — j \left(-\frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} — 0 \cdot -\frac{a}{2}\right) + k \left(-\frac{a}{2} \cdot 0 — (-\frac{a}{2}) \cdot \frac{a}{2}\right)\)
\(= i \frac{a^{2}}{4} + j \frac{a^{2}}{4} + k \frac{a^{2}}{4}\)
Итак, нормальный вектор плоскости \(EFM\): \(n = (\frac{a^{2}}{4}, \frac{a^{2}}{4}, \frac{a^{2}}{4})\).

Диагональ \(AC_1\) имеет направление \(C_1 — A = (a, a, a)\). Это тот же самый вектор, что и нормальный вектор плоскости \(EFM\), то есть \(AC_1\) перпендикулярна этой плоскости, так как их направления совпадают с нормалью. Следовательно, \(AC_1 \perp EFM\).