ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 12.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро DA тетраэдра DABC перпендикулярно плоскости ABC (рис. 12.15), AC = AD, ∠ACB = 90°, точка M — середина ребра BD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M и перпендикулярной прямой CD.

Плоскость проходит через точку \( M \) — середину ребра \( BD \), и перпендикулярна прямой \( CD \). Для построения сечения:

Через точку \( M \) проводится прямая, перпендикулярная \( CD \), которая пересекает ребро \( DC \) в точке \( K \).

Эта же плоскость пересекает ребро \( AC \) в некоторой точке \( \mu \).

Сечение — треугольник \( MK\mu \), где \( M \) — середина \( BD \), \( K \) — точка на \( DC \), \( \mu \) — точка на \( AC \).

Пусть дан тетраэдр \( DABC \), в котором ребро \( DA \) перпендикулярно плоскости \( ABC \), \( AC = AD \), а угол \( ACB \) равен \( 90^\circ \). Обозначим точку \( M \) как середину ребра \( BD \). Требуется построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку \( M \) и перпендикулярной прямой \( CD \).

Для начала отметим, что плоскость, проходящая через точку \( M \) и перпендикулярная прямой \( CD \), обязательно будет содержать все точки, находящиеся на расстоянии, равном расстоянию от \( M \) до \( CD \), если провести из них перпендикуляр к \( CD \). Чтобы определить вторую точку пересечения этой плоскости с тетраэдром, рассмотрим пересечение этой плоскости с ребром \( DC \). Через точку \( M \) проводим прямую, перпендикулярную \( CD \) и лежащую в искомой плоскости, она пересекает \( DC \) в точке \( K \).

Далее определим третью точку пересечения плоскости с тетраэдром. Поскольку плоскость уже содержит точки \( M \) и \( K \), она обязательно пересечёт ещё одно ребро, не лежащее в одной плоскости с \( MK \) и \( CD \). Обычно удобно рассмотреть пересечение с ребром \( AC \), пусть эта точка называется \( \mu \). Таким образом, сечение тетраэдра данной плоскостью будет представлять собой треугольник с вершинами \( M \) (середина \( BD \)), \( K \) (точка пересечения на \( DC \)), и \( \mu \) (точка на \( AC \)).

В результате описанных построений сечение, проходящее через точку \( M \) и перпендикулярное прямой \( CD \), есть треугольник \( MK\mu \). При этом каждая из точек \( M \), \( K \), \( \mu \) определяется однозначно: \( M \) — середина \( BD \), \( K \) — точка на \( DC \), найденная как пересечение с прямой, проходящей через \( M \) и перпендикулярной \( CD \), а \( \mu \) — точка на \( AC \), в которой плоскость сечения пересекает это ребро. Таким образом, сечение полностью определяется указанными условиями задачи.