ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 12.26 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Каждое ребро тетраэдра DABC равно a. Из точки D опущен перпендикуляр DO на плоскость ABC. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через прямую DO и перпендикулярной прямой AB, и найдите площадь построенного сечения.

Плоскость проходит через высоту тетраэдра и середину основания, образуя равнобедренный треугольник.

Длина стороны основания \(a\), высота из вершины \(D\) равна \(\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\). Основание сечения — медиана треугольника \(ABC\), её длина \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Площадь равнобедренного треугольника:
\( S = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a^2\sqrt{2}}{4} \)

Рассмотрим правильный тетраэдр \(DABC\) с длиной ребра \(a\). Все его грани — равносторонние треугольники, а высота, опущенная из вершины \(D\) на основание \(ABC\), обозначается как \(DO\). Точка \(O\) — центр основания \(ABC\), так как высота в правильном тетраэдре всегда проходит через центр основания. Длина этой высоты находится по формуле: \(DO = a \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}\).

Плоскость проходит через прямую \(DO\) и перпендикулярна стороне \(AB\). В основании \(ABC\) эта плоскость пересекает сторону \(AB\) в её середине, обозначим эту точку как \(K\). Через точку \(K\) и центр \(O\) плоскость пересекает стороны \(AC\) и \(BC\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. В результате сечения получается равнобедренный треугольник \(KMN\), где основание \(KN\) — медиана треугольника \(ABC\), а высота этого треугольника совпадает с высотой \(DO\) тетраэдра.

Длина медианы равностороннего треугольника со стороной \(a\) вычисляется по формуле: \(m = \frac{a\sqrt{3}}{2}\). Таким образом, основание сечения \(KN = \frac{a\sqrt{3}}{2}\), а высота равна \(DO = a \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}\). Площадь треугольника вычисляется по формуле: \(S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\). Подставляем значения: \(S = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot a\sqrt{\frac{2}{3}}\).

Упростим выражение: \(\frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot a\sqrt{\frac{2}{3}} = a^{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = a^{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\). После умножения на \(\frac{1}{2}\) получаем окончательно: \(S = \frac{a^{2}\sqrt{2}}{4}\).