ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 12.27 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диагональ AC ромба ABCD лежит в плоскости α, а точка B удалена от плоскости α на 3√7 см. Найдите проекцию диагонали BD на плоскость α, если BD = 24 см.

Дано: \( BD = 24 \) см, расстояние от точки \( B \) до плоскости \( \alpha \) равно \( 3\sqrt{7} \) см.

Проекция диагонали \( BD \) на плоскость \( \alpha \) находится по формуле: \( HD = \sqrt{BD^2 — BH^2} \).

Подставляем значения: \( HD = \sqrt{24^2 — (3\sqrt{7})^2} = \sqrt{576 — 63} = \sqrt{513} \) см.

В данной задаче рассматривается ромб \(ABCD\), где диагональ \(AC\) лежит в плоскости \(\alpha\), а точка \(B\) удалена от этой плоскости на расстояние \(3\sqrt{7}\) см. Необходимо найти длину проекции диагонали \(BD\) на плоскость \(\alpha\). Проекция любого отрезка на плоскость — это минимальное расстояние между его концами, если один из концов перемещается перпендикулярно к плоскости до её пересечения. В нашем случае точка \(D\) уже лежит в плоскости \(\alpha\), а точка \(B\) удалена от неё, поэтому проекция \(BD\) — это отрезок \(HD\), где \(H\) — проекция точки \(B\) на плоскость \(\alpha\).

Для нахождения длины \(HD\) применяется теорема Пифагора, так как треугольник \(BHD\) прямоугольный: \(BH\) — это высота, проведённая из точки \(B\) к плоскости \(\alpha\), а \(BD\) — гипотенуза. Формула для вычисления длины проекции выглядит так: \(HD = \sqrt{BD^{2} — BH^{2}}\). Подставляя известные значения, получаем: длина диагонали \(BD = 24\) см, а расстояние \(BH = 3\sqrt{7}\) см. Тогда \(BD^{2} = 24^{2} = 576\), а \(BH^{2} = \left(3\sqrt{7}\right)^{2} = 9 \cdot 7 = 63\).

Выполняем вычисления: \(HD = \sqrt{576 — 63} = \sqrt{513}\) см. Таким образом, длина проекции диагонали \(BD\) на плоскость \(\alpha\) равна \(HD = \sqrt{513}\) см. Этот результат показывает, насколько диагональ \(BD\) «сокращается» при проецировании на плоскость, учитывая перпендикулярное смещение точки \(B\) относительно плоскости \(\alpha\).