ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 12.28 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона AC треугольника ABC лежит в плоскости α, а точка B удалена от плоскости α на 5 см. Проекции отрезков AB и BC на плоскость α равны соответственно 12 см и 15 см, AC = 9 см. Найдите площадь треугольника ABC.

Дано: \(AC = 9\) см, \(AH = 12\) см, \(CH = 15\) см, расстояние от \(B\) до плоскости \(\alpha\) — \(5\) см.

Треугольник \(AHC\) прямоугольный, так как \(AH^2 + AC^2 = CH^2\).

Высота \(BH\) из точки \(B\) к основанию \(AC\) равна \(\sqrt{AH^2 + 5^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\) см.

Площадь треугольника:
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 13 = 58{,}5\) см\(^2\)

Дано: отрезок \(AC\) лежит в плоскости \(\alpha\), точка \(B\) находится вне этой плоскости на расстоянии \(5\) см. Проекции \(AH = 12\) см и \(CH = 15\) см — это длины проекций рёбер \(AB\) и \(CB\) на плоскость, а \(AC = 9\) см — длина основания. Рассмотрим треугольник \(AHC\), где \(H\) — основание перпендикуляра, опущенного из \(B\) на плоскость \(\alpha\). Этот треугольник является прямоугольным, поскольку выполняется равенство \(AH^2 + AC^2 = CH^2\). Подставляя значения: \(12^2 + 9^2 = 15^2\), то есть \(144 + 81 = 225\), а \(225 = 225\), значит, угол при \(A\) прямой.

Для вычисления площади треугольника \(ABC\), важно найти высоту, проведённую из точки \(B\) к основанию \(AC\). Эта высота состоит из двух частей: \(AH\) — проекция на плоскость, и расстояние от \(B\) до плоскости, равное \(5\) см. По теореме Пифагора находим длину высоты \(BH\): \(BH = \sqrt{AH^2 + 5^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\) см. Таким образом, точка \(B\) расположена так, что высота к основанию \(AC\) в пространственном треугольнике \(ABC\) равна \(13\) см.

Площадь треугольника \(ABC\) вычисляется по формуле: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH\). Подставляем значения: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 13 = \frac{117}{2} = 58{,}5\) см\(^2\). Таким образом, площадь искомого треугольника равна \(58{,}5\) см\(^2\).