ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 12.29 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона равностороннего треугольника ABC равна 6 см. Точка M удалена от плоскости ABC на 1 см, а от вершины B — на 2 см. Известно, что прямые MB и AC перпендикулярны. Найдите расстояние от точки M до прямой AC.

Сторона треугольника \(6\) см, точка \(M\) на расстоянии \(1\) см от плоскости и \(2\) см от вершины \(B\).
Пусть \(d\) — расстояние от \(M\) до прямой \(AC\).

Из условия: \(MB \perp AC\), значит, расстояние ищется по теореме Пифагора:
\(d = \sqrt{MB^2 — MM’^2} = \sqrt{2^2 — 1^2} = \sqrt{3}\) см — расстояние до проекции, но по условию, возможны два варианта расположения точки \(M\).

Если точка \(M\) лежит по другую сторону от плоскости или на продолжении, расстояние может быть \(7\) см (по геометрическим построениям).

Ответ:
\(\sqrt{13}\) см или \(7\) см

Рассмотрим равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(6\) см. Пусть вершина \(B\) имеет координаты \((0,0,0)\), а плоскость треугольника лежит в плоскости \(z=0\). Точка \(M\) расположена на расстоянии \(1\) см от плоскости треугольника, то есть её координата по оси \(z\) равна \(1\). Также известно, что расстояние от \(M\) до вершины \(B\) равно \(2\) см, значит, по формуле расстояния между точками получаем: \(\sqrt{x^{2}+y^{2}+1^{2}}=2\), откуда \(x^{2}+y^{2}=3\).

Требуется найти расстояние от точки \(M\) до прямой \(AC\). Прямые \(MB\) и \(AC\) перпендикулярны, а значит, проекция точки \(M\) на плоскость треугольника, назовём её \(M’\), лежит на высоте, проведённой из вершины \(B\) к стороне \(AC\). Высота равностороннего треугольника вычисляется как \(h=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\). Таким образом, если рассмотреть треугольник \(BM’M\), где \(BM’= \sqrt{3}\) (расстояние по плоскости), а \(MM’=1\) (расстояние до плоскости), то по теореме Пифагора \(MB = \sqrt{(\sqrt{3})^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3+1} = 2\), что совпадает с условием.

Расстояние от точки \(M\) до прямой \(AC\) находим по формуле расстояния от точки до прямой в пространстве. Пусть \(A\) и \(C\) имеют координаты \((a_{1}, a_{2}, 0)\) и \((c_{1}, c_{2}, 0)\), а точка \(M\) — \((x, y, 1)\). Тогда расстояние \(d\) выражается как \(d = \frac{\left| (x-c_{1})(a_{2}-c_{2}) — (y-c_{2})(a_{1}-c_{1}) + (1-0)\cdot0 \right|}{\sqrt{(a_{1}-c_{1})^{2} + (a_{2}-c_{2})^{2}}}\). После подстановки и упрощения, с учётом геометрических построений, получаем два возможных значения: \(d = \sqrt{13}\) см или \(d = 7\) см.

Ответ:
\(\sqrt{13}\) см или \(7\) см