ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 12.3 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На рисунке 12.10 изображён равносторонний треугольник ABC, точка D — середина стороны BC. Прямая AM перпендикулярна плоскости ABC. Докажите, что MD ⟂ BC.

Дано: треугольник \(ABC\) равносторонний, \(D\) — середина \(BC\), \(AM \perp (ABC)\).

Поскольку \(AM \perp (ABC)\), то любая прямая, лежащая в плоскости \((ABC)\), перпендикулярна \(AM\).

Точка \(D\) лежит на \(BC\), значит \(MD\) — проекция \(AM\) на плоскость \((ABC)\) через точку \(D\).

Следовательно, \(MD \perp BC\), так как \(AM \perp (ABC)\) и \(BC \subset (ABC)\).

Пусть дан равносторонний треугольник \(ABC\), у которого все стороны равны между собой, то есть \(AB = BC = AC\). Точка \(D\) — середина стороны \(BC\), следовательно, \(BD = DC = \frac{1}{2}BC\). Прямая \(AM\) проведена из вершины \(A\) и перпендикулярна плоскости треугольника \(ABC\), то есть \(AM \perp (ABC)\).

Из условия \(AM \perp (ABC)\) следует, что \(AM\) перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности, \(AM \perp BC\) и \(AM \perp BD\), а также \(AM \perp DC\). Таким образом, если мы рассмотрим проекцию точки \(M\) (основание высоты \(AM\)) на плоскость треугольника, то эта проекция совпадает с точкой \(A\), так как \(AM\) выходит из вершины \(A\) и идёт перпендикулярно плоскости. Если мы рассмотрим точку \(D\) как середину \(BC\), то прямая \(MD\) будет соединять точку \(M\) вне плоскости и точку \(D\) на стороне \(BC\).

Теперь рассмотрим, почему \(MD \perp BC\). Поскольку \(AM \perp (ABC)\), любая прямая, проходящая через \(M\) и лежащая в плоскости, будет перпендикулярна \(AM\). Прямая \(MD\) лежит в плоскости, проходящей через \(AM\) и \(D\), а \(BC\) — в плоскости \(ABC\). Так как \(D\) — середина \(BC\), а \(AM\) — высота, то треугольник симметричен относительно высоты \(AM\), и \(MD\) будет проекцией \(AM\) на плоскость \(ABC\) через точку \(D\). Следовательно, по свойству перпендикуляра к плоскости, \(MD\) будет перпендикулярна \(BC\), то есть \(MD \perp BC\).

Таким образом, мы доказали, что если в равностороннем треугольнике \(ABC\) из вершины \(A\) проведён перпендикуляр \(AM\) к плоскости треугольника, а \(D\) — середина стороны \(BC\), то отрезок \(MD\), соединяющий основание перпендикуляра \(M\) и точку \(D\), будет перпендикулярен стороне \(BC\). Это утверждение следует из свойств перпендикуляра к плоскости и симметрии равностороннего треугольника.