ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 12.31 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В треугольнике ABC стороны AB и BC равны 10 см, сторона AC — 12 см. Точка K удалена от каждой из прямых AB, BC и CA на 13 см. Найдите расстояние от точки K до плоскости ABC.

В треугольнике \(AB = BC = 10\) см, \(AC = 12\) см. Пусть точка \(K\) вне плоскости треугольника так, что расстояния от \(K\) до всех сторон равны 13 см. Проекция точки \(K\) на плоскость треугольника совпадает с центром вписанной или одной из вневписанных окружностей треугольника. Обозначим расстояние от \(K\) до плоскости за \(h\). Тогда по теореме Пифагора для расстояния от \(K\) до стороны: \(\sqrt{r^2 + h^2} = 13\), где \(r\) — радиус (вписанной или вневписанной окружности). Значит, \(h = \sqrt{13^2 — r^2}\).

В этом треугольнике \(r_1 = 4\sqrt{10}\) см, \(r_2 = 5\) см, \(r_3 = \sqrt{105}\) см — это радиусы вписанной и вневписанных окружностей. Соответственно, возможные значения расстояния: \(4\sqrt{10}\) см, \(5\) см, \(\sqrt{105}\) см.

Пусть дан треугольник \(ABC\) со сторонами \(AB = BC = 10\) см, \(AC = 12\) см. Точка \(K\) расположена вне плоскости треугольника так, что её расстояния до всех сторон равны 13 см. Требуется найти возможные значения расстояния от проекции точки \(K\) на плоскость треугольника \(ABC\) до его сторон.

Обозначим расстояние от точки \(K\) до плоскости треугольника через \(h\), а радиус соответствующей окружности треугольника (вписанной или вневписанной) через \(r\). Тогда расстояние от точки \(K\) до стороны треугольника выражается по теореме Пифагора: \(\sqrt{r^{2} + h^{2}} = 13\). Следовательно, \(h = \sqrt{13^{2} — r^{2}}\). Для каждого центра окружности (вписанной и вневписанных) радиусы \(r\) различны, поэтому возможны разные значения \(h\).

В данном треугольнике радиусы окружностей вычисляются по формуле \(r = \frac{S}{p}\), где \(S\) — площадь треугольника, а \(p\) — полупериметр. Для вписанной окружности и двух вневписанных окружностей значения радиусов равны \(4\sqrt{10}\) см, \(5\) см и \(\sqrt{105}\) см. Соответственно, возможные значения расстояния: \(4\sqrt{10}\) см, \(5\) см, \(\sqrt{105}\) см.