ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 12.32 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона равностороннего треугольника ABC равна 6 см. Точка M удалена от каждой из прямых AB, BC и CA на 14 см. Найдите расстояние от точки M до плоскости ABC.

Сторона треугольника \(6\) см, расстояние от точки до каждой стороны \(14\) см. Радиус вписанной окружности равен \(R = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}\) см. Расстояние от точки до плоскости: \(h = \sqrt{14^2 — (\sqrt{3})^2} = \sqrt{193}\) или \(13\) см.

Пусть сторона равностороннего треугольника равна \(6\) см. В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности выражается формулой \(R = \frac{a}{2\sqrt{3}}\), где \(a\) — длина стороны. Подставляя \(a = 6\), получаем \(R = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\) см. Это расстояние от центра треугольника до любой стороны.

Точка \(M\) расположена вне плоскости треугольника так, что её расстояние до каждой из прямых, содержащих стороны треугольника, равно \(14\) см. Если провести из точки \(M\) перпендикуляр к плоскости треугольника, его длина обозначается как \(h\). В пространстве расстояние от точки до стороны треугольника определяется по теореме Пифагора: квадрат расстояния до стороны равен сумме квадратов расстояния до плоскости и радиуса вписанной окружности. То есть, \(d^{2} = h^{2} + R^{2}\), где \(d = 14\) см.

Подставляя значения, получаем: \(14^{2} = h^{2} + (\sqrt{3})^{2}\), то есть \(196 = h^{2} + 3\). Тогда \(h^{2} = 196 — 3 = 193\), и \(h = \sqrt{193}\). Если вычислить приблизительно, получим \(h \approx 13\) см. Таким образом, искомое расстояние от точки \(M\) до плоскости треугольника равно \( \sqrt{193} \) или \(13\) см.