ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 12.33 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На ребре AA₁ и диагонали B₁D прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ отметили соответственно точки K и M так, что отрезок KM — общий перпендикуляр прямых AA₁ и B₁D. Найдите отношение B₁M : MD, если AB : AD = 1 : 2.

Пусть \(AB = a\), \(AD = 2a\).
Находим точку \(M\) на диагонали \(B_1D\) так, чтобы отрезок \(KM\) был общим перпендикуляром к \(AA_1\) и \(B_1D\).
Вводим параметр \(t\) для точки \(M\) на \(B_1D\): \(M = (a — at, 2at, h — ht)\).
Из условия перпендикулярности получаем \(t = \frac{1}{5}\).
Тогда отношение \(B_1M : MD = \frac{t}{1-t} = \frac{1/5}{4/5} = \frac{1}{4}\).
Ответ: \(1:4\).

Пусть \(AB = a\), \(AD = 2a\), высота \(AA_1 = h\). Введём декартову систему координат: \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(D(0,2a,0)\), \(A_1(0,0,h)\), \(B_1(a,0,h)\), \(D_1(0,2a,h)\). Прямая \(AA_1\) вертикальна, её любая точка \(K(0,0,k)\), где \(k\) от 0 до \(h\). Диагональ \(B_1D\) задаётся как \(M = (a — at, 2at, h — ht)\), где \(t\) — параметр от 0 до 1.

Требуется найти точку \(M\) на \(B_1D\) такую, что отрезок \(KM\) будет общим перпендикуляром к \(AA_1\) и \(B_1D\). Вектор \(AA_1\) — \( (0,0,1) \), а вектор \(B_1D\) — \( (-a, 2a, -h) \). Вектор \(KM = (a — at, 2at, h — ht — k)\). Из условия перпендикулярности \(KM\) к \(AA_1\) получаем \(h — ht — k = 0\), то есть \(k = h — ht\). Далее, из условия перпендикулярности \(KM\) к \(B_1D\) получаем: \((a — at)(-a) + (2at)(2a) = 0\), то есть \(-a² + a²t + 4a²t = 0\), отсюда \(5t = 1\), значит \(t = \frac{1}{5}\).

Вычислим длины \(B_1M\) и \(MD\). Для \(B_1M\): координаты \(B_1(a,0,h)\) и \(M(a — at, 2at, h — ht)\). Разность: \((at, -2at, ht)\). Длина \(B_1M = \sqrt{(at)² + (2at)² + (ht)²} = t \sqrt{a² + 4a² + h²} = t \sqrt{5a² + h²}\). Для \(MD\): координаты \(M(a — at, 2at, h — ht)\) и \(D(0,2a,0)\). Разность: \((a — at, 2at — 2a, h — ht)\). Длина \(MD = \sqrt{(a — at)² + (2at — 2a)² + (h — ht)²} = (1 — t) \sqrt{5a² + h²}\).

Отношение \(B_1M : MD = \frac{t}{1-t}\). Подставляем \(t = \frac{1}{5}\), получаем \(\frac{1/5}{4/5} = \frac{1}{4}\). Ответ: \(1:4\).