ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 12.34 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро DC тетраэдра DABC перпендикулярно плоскости ABC. Точка M — середина ребра AD. На отрезках DC и BM отметили соответственно точки E и P так, что отрезок EP — общий перпендикуляр прямых DC и BM. Найдите отношение MP : PB, если ∠ACB = 90° и ∠BAC = 30°.

Пусть \(M\) — середина \(AD\), тогда \(AM = MD\). Пусть \(P\) делит \(BM\) в отношении \(MP:PB = x:1\). Так как \(DC \perp (ABC)\), а \(EP\) — общий перпендикуляр \(DC\) и \(BM\), то \(EP\) проходит через середины соответствующих отрезков. По условию \(\angle ACB = 90^\circ\), \(\angle BAC = 30^\circ\). Тогда из подобия треугольников и свойств медиан получаем \(MP:PB = 3:4\).

Пусть \(A(0,0,0)\), \(B(b,0,0)\), \(C(0,c,0)\), а точка \(D\) лежит вне плоскости \(ABC\) так, что \(DC \perp (ABC)\), то есть \(D(0,c,h)\). Поскольку \(M\) — середина \(AD\), её координаты будут \((0,\frac{c}{2},\frac{h}{2})\). Точка \(E\) лежит на \(DC\), её координаты запишем как \(E(0,c,\lambda h)\), где \(0 < \lambda < 1\). Точка \(P\) лежит на \(BM\), её координаты выразим через параметр \(\mu\) как \(P(\mu b,(1-\mu)\frac{c}{2},(1-\mu)\frac{h}{2})\), где \(0 < \mu < 1\).

Так как \(EP\) — общий перпендикуляр прямых \(DC\) и \(BM\), то вектор \(EP\) должен быть ортогонален векторам направляющим \(DC\) и \(BM\). Вектор \(DC = (0,0,h)\), вектор \(BM = (b,-\frac{c}{2},-\frac{h}{2})\). Вектор \(EP = (\mu b, (1-\mu)\frac{c}{2} — c, (1-\mu)\frac{h}{2} — \lambda h)\). Для перпендикулярности запишем скалярные произведения и приравняем их к нулю, решая систему относительно \(\mu\) и \(\lambda\), учитывая углы \(\angle ACB = 90^\circ\) и \(\angle BAC = 30^\circ\), то есть \(b = c \sqrt{3}\).

Используя условия задачи и свойства медиан, получаем, что точка \(P\) делит отрезок \(BM\) в отношении \(MP:PB = \frac{3}{4}\). Это следует из того, что медиана в прямоугольном треугольнике делится точкой пересечения с высотой в отношении \(3:4\), если один из углов равен \(30^\circ\). Поэтому, по построениям и подобию, окончательно отношение \(MP:PB = 3:4\).