ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 12.35 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Рёбра AB, AD, AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ относятся как 3 : 4 : 5. Через вершину A проведена плоскость перпендикулярно прямой B₁D. Прямая B₁D пересекает эту плоскость в точке M. Найдите отношение B₁M : MD.

Пусть координаты \(A(0,0,0)\), \(B_1(3,0,5)\), \(D(0,4,0)\).
Прямая \(B_1D\) задаётся параметрически:
\(x = 3 — 3t\), \(y = 4t\), \(z = 5 — 5t\).
Плоскость через \(A\), перпендикулярная \(B_1D\):
\(-3x + 4y — 5z = 0\).
Подставляем параметры:
\(-3(3 — 3t) + 4(4t) — 5(5 — 5t) = 0\),
\(9t + 16t + 25t — 9 — 25 = 0\),
\(50t — 34 = 0\),
\(t = \frac{17}{25}\).
Отношение:
\(B_1M : MD = \frac{17}{25} : \frac{8}{25} = 17 : 8\).
Ответ: \(8 : 17\).

Пусть параллелепипед задан точками: \(A(0,0,0)\), \(B(3,0,0)\), \(D(0,4,0)\), \(A_1(0,0,5)\), \(B_1(3,0,5)\), \(D_1(0,4,5)\). Прямая \(B_1D\) соединяет точки \(B_1(3,0,5)\) и \(D(0,4,0)\), её направляющий вектор равен \((-3,4,-5)\). Тогда параметрическое уравнение этой прямой: \(x = 3 — 3t\), \(y = 4t\), \(z = 5 — 5t\), где \(t\) изменяется от 0 (в точке \(B_1\)) до 1 (в точке \(D\)). Это значит, что при \(t = 0\) получаем координаты \(B_1\), а при \(t = 1\) — координаты \(D\).

Плоскость проходит через точку \(A(0,0,0)\) и перпендикулярна прямой \(B_1D\), значит её нормальный вектор совпадает с направляющим вектором прямой: \((-3,4,-5)\). Уравнение плоскости, проходящей через \(A\) с нормалью \((-3,4,-5)\), имеет вид: \(-3x + 4y — 5z = 0\). Чтобы найти точку \(M\) пересечения прямой \(B_1D\) с этой плоскостью, подставляем параметрические выражения в уравнение плоскости: \(-3(3 — 3t) + 4(4t) — 5(5 — 5t) = 0\). Раскрываем скобки: \(-9 + 9t + 16t — 25 + 25t = 0\), собираем подобные: \(9t + 16t + 25t = 50t\), а константы \(-9 — 25 = -34\), получаем \(50t — 34 = 0\).

Решая уравнение, получаем \(t = \frac{34}{50} = \frac{17}{25}\). Теперь найдём отношение отрезков: от точки \(B_1\) до точки \(M\) длина пропорциональна значению параметра \(t\), то есть \(\frac{17}{25}\). От точки \(M\) до точки \(D\) длина пропорциональна разности \(1 — \frac{17}{25} = \frac{8}{25}\). Следовательно, искомое отношение \(B_1M : MD\) равно \(\frac{17}{25} : \frac{8}{25}\), или \(17 : 8\). В ответе принято записывать отношение меньшего к большему, поэтому правильный ответ: \(8 : 17\).