ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 12.36 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка M принадлежит гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC. Расстояния от точки M до катетов AC и BC равны соответственно 8 см и 4 см. Площадь треугольника ABC равна 100 см². Найдите катеты треугольника.

Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(M \in AB\), \(MH = 8\) см, \(MK = 4\) см, \(S_{ABC} = 100\) см². Пусть \(AC = 8 + x\), \(BC = 4 + y\).

Площадь треугольника: \(\frac{1}{2} \cdot (8 + x) \cdot (4 + y) = 100\), значит \((8 + x)(4 + y) = 200\).

По теореме Пифагора: \(AM^2 = x^2 + 64\), значит \(AM = \sqrt{x^2 + 64}\). \(MB^2 = y^2 + 16\), значит \(MB = \sqrt{y^2 + 16}\).

Гипотенуза: \(AB = AM + MB\).

Ответ: система уравнений
\((8 + x)(4 + y) = 200\)
\(AM = \sqrt{x^2 + 64}\)
\(MB = \sqrt{y^2 + 16}\)
\(AM + MB = AB\)

В данной задаче требуется найти длины катетов прямоугольного треугольника \(AC\) и \(BC\), если известны площадь треугольника, а также расстояния от точки \(M\) на гипотенузе \(AB\) до катетов \(AC\) и \(BC\). Пусть точка \(M\) выбрана так, что расстояние от неё до катета \(AC\) равно 8 см, а до катета \(BC\) — 4 см. Пусть \(AC = 8 + x\), а \(BC = 4 + y\), где \(x\) и \(y\) — дополнительные длины, которые мы ищем.

Площадь треугольника выражается через катеты как \(\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC\), то есть \(\frac{1}{2} \cdot (8 + x) \cdot (4 + y) = 100\), откуда получаем уравнение \((8 + x)(4 + y) = 200\). Это первое основное уравнение, связывающее неизвестные \(x\) и \(y\). Далее, по теореме Пифагора, расстояние от точки \(M\) до вершины \(A\) выражается как \(AM = \sqrt{x^{2} + 8^{2}}\), а расстояние от точки \(M\) до вершины \(B\) выражается как \(MB = \sqrt{y^{2} + 4^{2}}\). Таким образом, \(AM = \sqrt{x^{2} + 64}\) и \(MB = \sqrt{y^{2} + 16}\).

Гипотенуза \(AB\) равна сумме этих двух отрезков: \(AB = AM + MB\). В результате, для поиска катетов \(AC\) и \(BC\) необходимо решить систему уравнений: первое — \((8 + x)(4 + y) = 200\), второе — \(AM = \sqrt{x^{2} + 64}\), третье — \(MB = \sqrt{y^{2} + 16}\), четвёртое — \(AB = AM + MB\). Решив эту систему, можно получить значения \(x\) и \(y\), а значит и длины катетов \(AC\) и \(BC\).