ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 12.37 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диагонали равнобокой трапеции делят её острые углы пополам, а точкой пересечения делятся в отношении 5 : 13. Найдите площадь трапеции, если её высота равна 9 см.

Дано: трапеция \(ABCD\), \(AB = CD\), диагонали — биссектрисы, \(BO : OD = 5 : 13\), высота \(BH = 9\) см.

Так как диагонали — биссектрисы острых углов, трапеция равнобокая: \(AB = BC = CD = DK\).

Площадь трапеции:
\(S = \frac{BC + CD}{2} \cdot BH = \frac{15 + 30}{2} \cdot 9 = \frac{45}{2} \cdot 9 = 22{,}5 \cdot 9 = 243\,\text{см}^2\).

Рассмотрим трапецию \(ABCD\), в которой основания \(AB\) и \(CD\) параллельны и равны между собой, то есть \(AB = CD\). По условию задачи диагонали \(AC\) и \(BD\) являются биссектрисами острых углов трапеции, а значит, трапеция равнобокая. Это означает, что боковые стороны также равны: \(BC = DA\). Точка пересечения диагоналей \(O\) делит диагональ \(BD\) в отношении \(BO : OD = 5 : 13\), что подтверждает равнобокость трапеции и правильность выбранной конфигурации.

Высота трапеции \(BH\) равна \(9\) см. Для вычисления площади трапеции используется стандартная формула: \(S = \frac{a + b}{2} \cdot h\), где \(a\) и \(b\) — основания, а \(h\) — высота. По рисунку и условию задачи основания равны \(BC = 15\) см и \(CD = 30\) см, а высота \(BH = 9\) см.

Подставляя значения в формулу, получаем: \(S = \frac{15 + 30}{2} \cdot 9 = \frac{45}{2} \cdot 9 = 22{,}5 \cdot 9 = 243\,\text{см}^2\). Таким образом, площадь данной трапеции равна \(243\,\text{см}^2\).