ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 12.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Прямая AO перпендикулярна плоскости окружности с центром O (рис. 12.11). Прямая a принадлежит плоскости окружности и касается данной окружности в точке B. Докажите, что AB ⟂ a.

Пусть окружность лежит в плоскости \(\alpha\) с центром \(O\). Прямая \(AO\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\), а прямая \(a\) лежит в плоскости \(\alpha\) и касается окружности в точке \(B\).

Поскольку \(AO \perp \alpha\), то \(OB\) (радиус, лежащий в плоскости) перпендикулярен касательной \(a\) в точке касания \(B\), то есть \(OB \perp a\).

Треугольник \(ABO\) лежит в плоскости, содержащей \(AO\) и \(OB\). Поскольку \(AO \perp \alpha\), то \(AB\) также перпендикулярен \(a\) в точке \(B\).

Следовательно, \(AB \perp a\).

Рассмотрим окружность с центром \(O\) и радиусом \(r\), лежащую в плоскости \(\alpha\). Пусть точка \(A\) расположена вне плоскости \(\alpha\) так, что прямая \(AO\) перпендикулярна плоскости окружности, то есть \(AO \perp \alpha\). Прямая \(a\) принадлежит плоскости \(\alpha\) и касается окружности в точке \(B\). По определению касательной к окружности, касательная в точке \(B\) перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то есть \(OB \perp a\).

Поскольку \(AO \perp \alpha\), то любой вектор, лежащий в плоскости \(\alpha\), будет перпендикулярен \(AO\). В частности, радиус \(OB\) лежит в плоскости \(\alpha\), а значит, \(AO \perp OB\). Таким образом, точки \(A\), \(O\) и \(B\) лежат в одной плоскости, которая проходит через прямую \(AO\) и точку \(B\). В этой плоскости рассмотрим треугольник \(ABO\): стороны \(AO\) и \(OB\) пересекаются в точке \(O\), а сторона \(AB\) соединяет точки \(A\) и \(B\).

Теперь рассмотрим угол между прямой \(AB\) и касательной \(a\) в точке \(B\). Прямая \(AB\) лежит в плоскости, проходящей через \(AO\) и \(OB\). А касательная \(a\) лежит в плоскости \(\alpha\), и в точке \(B\) она перпендикулярна радиусу \(OB\). Поскольку \(AO \perp \alpha\), то \(AB\) также перпендикулярен \(a\) в точке \(B\), потому что \(AB\) лежит в плоскости, перпендикулярной плоскости \(\alpha\) и проходящей через точку касания. Следовательно, угол между \(AB\) и \(a\) равен \(90^\circ\), то есть \(AB \perp a\).