ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 12.6 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Отрезок BD — перпендикуляр к плоскости прямоугольного треугольника ABC с прямым углом при вершине C (рис. 12.13). Постройте перпендикуляр, опущенный из точки D на прямую AC.

Дано: треугольник \(ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(BD \perp BC\).

Построить: перпендикуляр из точки \(D\) на прямую \(AC\).

Так как \(BD \perp BC\), а \(AC \subset BC\), то \(DC \perp AC\).

Рассмотрим треугольник \(ABC\), в котором угол при вершине \(C\) равен \(90^\circ\). Это значит, что стороны \(AC\) и \(BC\) взаимно перпендикулярны, то есть \(AC \perp BC\). Пусть точка \(D\) расположена вне плоскости треугольника \(ABC\), а отрезок \(BD\) перпендикулярен к плоскости треугольника \(ABC\). Это означает, что \(BD\) образует прямой угол с любой прямой, лежащей в плоскости \(ABC\) и проходящей через точку \(B\).

Поскольку \(BD \perp BC\), а также \(BD \perp AC\) (так как \(BD\) перпендикулярен всей плоскости \(ABC\)), то если провести из точки \(D\) прямую \(DC\), соединяющую \(D\) и \(C\), она будет лежать в плоскости, проходящей через \(D\) и перпендикулярной к \(AC\). Это объясняется тем, что \(AC\) лежит в плоскости \(ABC\), а любая прямая, проходящая через точку вне плоскости (\(D\)), и пересекающая плоскость в точке (\(C\)), будет перпендикулярна соответствующей прямой в этой плоскости, если сама точка вне плоскости соединена с точкой пересечения перпендикуляра.

Таким образом, чтобы построить перпендикуляр из точки \(D\) на прямую \(AC\), достаточно соединить точки \(D\) и \(C\) прямой \(DC\). Эта прямая будет перпендикулярна \(AC\), так как \(DC \perp AC\) по построению, исходя из того, что \(BD \perp плоскости\ ABC\), а \(AC\) лежит в этой плоскости. Следовательно, \(DC\) — искомый перпендикуляр, опущенный из точки \(D\) на прямую \(AC\).