ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 12.7 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Отрезок BE — перпендикуляр к плоскости ромба ABCD (рис. 12.14). Постройте перпендикуляр, опущенный из точки E на прямую AC.

\(BE \perp плоскости\, ABCD\), значит, любая прямая, лежащая в плоскости \(ABCD\), перпендикулярна \(BE\).

Прямая \(AC\) принадлежит плоскости \(ABCD\), значит \(AC \perp BE\).

Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей ромба \(ABCD\), тогда \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\).

Так как \(E \in BE\), опускаем из точки \(E\) перпендикуляр на \(AC\). Этот перпендикуляр \(EO\) проходит через точку \(O\), где \(AC\) и \(BD\) пересекаются.

Следовательно, \(EO \perp AC\), где \(O = AC \cap BD\).

Ответ: \(EO \perp AC\).

Пусть дан ромб \(ABCD\), причем его вершины лежат в одной плоскости. По условию задачи из вершины \(B\) проведена прямая \(BE\), которая перпендикулярна плоскости ромба \(ABCD\). Точка \(E\) лежит на этой прямой \(BE\) вне плоскости ромба. Требуется провести из точки \(E\) перпендикуляр на прямую \(AC\), которая является одной из диагоналей ромба и также лежит в плоскости \(ABCD\).

Поскольку \(BE \perp плоскости\, ABCD\), любая прямая, лежащая в этой плоскости, будет перпендикулярна \(BE\). В частности, прямая \(AC\) принадлежит плоскости ромба, значит, \(AC \perp BE\). Точка \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\) ромба, причем она также лежит в плоскости \(ABCD\). Прямая \(BE\) проходит через вершину \(B\) и точку \(E\), находящуюся вне плоскости. Если провести из точки \(E\) перпендикуляр на прямую \(AC\), то этот перпендикуляр обязательно будет лежать в плоскости, проходящей через точку \(E\) и прямую \(AC\). Эта плоскость пересекает плоскость ромба по прямой \(AC\).

Поскольку \(BE \perp AC\), а точка \(E\) лежит вне плоскости ромба, то из точки \(E\) можно провести единственный перпендикуляр на прямую \(AC\), который будет пересекать прямую \(AC\) в точке \(O\) — точке пересечения диагоналей ромба. Этот перпендикуляр обозначим как \(EO\). Таким образом, \(EO \perp AC\), где \(O\) — точка пересечения \(AC\) и \(BD\). В результате построения получаем, что из точки \(E\), лежащей на прямой \(BE\), проведён перпендикуляр \(EO\) на прямую \(AC\), причем \(EO\) пересекает \(AC\) в точке \(O\).

Ответ: \(EO \perp AC\), где \(O = AC \cap BD\).