ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 12.8 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Прямая MA перпендикулярна плоскости параллелограмма ABCD, MD ⟂ CD. Докажите, что четырёхугольник ABCD — прямоугольник.

Дано: \(MA \perp (ABCD)\), \(MD \perp CD\).

Поскольку \(MA \perp (ABCD)\), то \(MA \perp AB\), \(MA \perp BC\), \(MA \perp CD\), \(MA \perp DA\).

\(MD \perp CD\), а \(MD\) лежит в плоскости \(ABCD\), значит \(AD \perp CD\).

В параллелограмме, если одна из сторон перпендикулярна соседней, то он является прямоугольником.

Следовательно, \(ABCD\) — прямоугольник.

Дано: \(MA \perp (ABCD)\), где \(ABCD\) — параллелограмм, \(MD \perp CD\). Требуется доказать, что \(ABCD\) — прямоугольник.

Поскольку \(MA \perp (ABCD)\), это означает, что прямая \(MA\) перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости \(ABCD\) и проходящей через точку \(A\). В частности, \(MA \perp AB\) и \(MA \perp AD\), а также \(MA \perp DC\) и \(MA \perp BC\), так как все эти прямые находятся в плоскости \(ABCD\). Это свойство перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости.

Далее, известно, что \(MD \perp CD\). Прямая \(MD\) лежит в плоскости \(ABCD\), так как обе точки \(M\) и \(D\) принадлежат этой плоскости. Из этого следует, что \(AD \perp CD\), потому что в параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, а если одна из сторон перпендикулярна другой, то все углы равны \(90^{\circ}\). Таким образом, угол между \(AD\) и \(CD\) прямой.

В параллелограмме, если один из углов прямой, то все углы также прямые, поскольку сумма углов параллелограмма \(360^{\circ}\), а противоположные углы равны. Следовательно, \(ABCD\) становится прямоугольником, так как у него все углы по \(90^{\circ}\) и противоположные стороны равны. Значит, четырёхугольник \(ABCD\) — прямоугольник.