ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 12.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Прямая MB перпендикулярна плоскости параллелограмма ABCD, MD ⟂ AC. Докажите, что четырёхугольник ABCD — ромб.

Дано: \( MB \perp \text{плоскости } ABCD \), \( DM \perp AC \).

Так как \( MB \perp \text{плоскости } ABCD \), то \( MB \perp BD \) и \( MB \perp AC \).

Поскольку \( DM \perp AC \), а \( MB \perp AC \), то \( DM \parallel MB \).

В параллелограмме если диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.

Следовательно, \( ABCD \) — ромб.

Пусть дан параллелограмм \(ABCD\), причем \(MB \perp\) плоскости \(ABCD\), а \(DM \perp AC\). Из условия \(MB \perp\) плоскости \(ABCD\) следует, что прямая \(MB\) перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку \(B\), в частности, \(MB \perp BD\) и \(MB \perp AC\). Таким образом, \(MB\) образует прямой угол с диагоналями параллелограмма.

Рассмотрим второе условие: \(DM \perp AC\). Это означает, что прямая \(DM\) перпендикулярна диагонали \(AC\) в плоскости параллелограмма. Так как \(MB \perp AC\) и \(DM \perp AC\), то прямые \(MB\) и \(DM\) обе перпендикулярны одной и той же прямой \(AC\). Следовательно, они либо параллельны, либо совпадают, но по построению \(M\) — точка вне плоскости, а \(D\) — точка на плоскости, то есть \(MB \parallel DM\).

В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся пополам. Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то параллелограмм становится ромбом, так как только у ромба диагонали пересекаются под прямым углом. В нашем случае из перпендикулярности \(MB\) к плоскости и дополнительного условия \(DM \perp AC\) следует, что диагонали \(AC\) и \(BD\) параллелограмма \(ABCD\) перпендикулярны друг другу. Следовательно, по признаку ромба, четырёхугольник \(ABCD\) — ромб.