ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.1 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), точка \(O\) — центр грани \(ABCD\) (рис. 13.7). Укажите угол между:

1) прямой \(AB_1\) и плоскостью \(A_1B_1C_1\);

2) прямой \(AC_1\) и плоскостью \(ABC\);

3) прямой \(AC_1\) и плоскостью \(CDD_1\);

4) прямой \(OA_1\) и плоскостью \(ABC\);

5) прямой \(AC\) и плоскостью \(ADD_1\).

1) Прямая \(AB_1\) перпендикулярна плоскости \(A_1B_1C_1\), угол между ними равен углу между \(AB_1\) и \(B_1C_1\), то есть \(\angle (AB_1, B_1C_1)\).

2) Прямая \(AC_1\) пересекает плоскость \(ABC\) в точке \(A\), угол между ними равен углу между \(C_1A\) и \(AC\), то есть \(\angle (C_1A, AC)\).

3) Прямая \(AC_1\) пересекает плоскость \(CDD_1\) в точке \(C\), угол между ними равен углу между \(C_1D_1\) и \(CD\), то есть \(\angle (C_1D_1, CD)\).

4) Прямая \(OA_1\) пересекает плоскость \(ABC\) в точке \(O\), угол между ними равен углу между \(OA_1\) и \(OA\), то есть \(\angle (OA_1, OA)\).

5) Прямая \(AC\) пересекает плоскость \(ADD_1\) в точке \(A\), угол между ними равен углу между \(CA\) и \(DO\), то есть \(\angle (CA, DO)\).

1) Прямая \(AB_1\) соединяет вершину основания куба \(A\) и вершину верхнего основания \(B_1\), то есть проходит по ребру, перпендикулярному плоскости основания. Плоскость \(A_1B_1C_1\) — это верхняя грань куба, параллельная основанию. Чтобы найти угол между прямой \(AB_1\) и плоскостью \(A_1B_1C_1\), нужно провести из точки \(B_1\) прямую, лежащую в плоскости этой грани и перпендикулярную проекции \(AB_1\) на эту плоскость. Такой прямой будет \(B_1C_1\), так как она проходит через \(B_1\) и лежит в плоскости верхней грани. Таким образом, угол между прямой \(AB_1\) и плоскостью \(A_1B_1C_1\) равен углу между прямыми \(AB_1\) и \(B_1C_1\), то есть \(\angle (AB_1, B_1C_1)\).

2) Прямая \(AC_1\) соединяет вершину основания \(A\) и противоположную вершину верхнего основания \(C_1\), пересекает весь куб по диагонали. Плоскость \(ABC\) — это грань основания куба. Чтобы найти угол между прямой \(AC_1\) и плоскостью \(ABC\), нужно рассмотреть точку пересечения — это точка \(A\). В плоскости \(ABC\) проведём прямую, которая является проекцией \(AC_1\) на эту грань, и она совпадает с диагональю \(AC\). Тогда угол между прямой \(AC_1\) и плоскостью \(ABC\) равен углу между прямыми \(C_1A\) и \(AC\), то есть \(\angle (C_1A, AC)\).

3) Прямая \(AC_1\) пересекает плоскость \(CDD_1\) в точке \(C\). Плоскость \(CDD_1\) проходит через вершины \(C\), \(D\) основания и вершину \(D_1\) верхнего основания. Проекция \(AC_1\) на эту плоскость будет проходить через \(C\) и \(D\), то есть это прямая \(CD\). В самой плоскости \(CDD_1\) через точку \(C\) можно провести прямую \(C_1D_1\), которая лежит в этой плоскости и соединяет вершины верхнего основания. Следовательно, угол между прямой \(AC_1\) и плоскостью \(CDD_1\) равен углу между прямыми \(C_1D_1\) и \(CD\), то есть \(\angle (C_1D_1, CD)\).

4) Прямая \(OA_1\) соединяет центр грани основания \(O\) и вершину верхнего основания \(A_1\). Плоскость \(ABC\) — это грань основания куба, в которой лежит точка \(O\). Чтобы найти угол между прямой \(OA_1\) и плоскостью \(ABC\), нужно рассмотреть проекцию этой прямой на плоскость основания, которая будет прямой \(OA\). Тогда угол между прямой \(OA_1\) и плоскостью \(ABC\) равен углу между прямыми \(OA_1\) и \(OA\), то есть \(\angle (OA_1, OA)\).

5) Прямая \(AC\) — это диагональ основания куба, соединяющая противоположные вершины \(A\) и \(C\). Плоскость \(ADD_1\) проходит через вершины \(A\), \(D\) основания и вершину \(D_1\) верхнего основания. Прямая пересекает эту плоскость в точке \(A\). В плоскости \(ADD_1\) через точку \(A\) можно провести прямую \(DO\), где \(O\) — центр грани основания. Таким образом, угол между прямой \(AC\) и плоскостью \(ADD_1\) равен углу между прямыми \(CA\) и \(DO\), то есть \(\angle (CA, DO)\).