ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Из точки \(M\) к плоскости \(\alpha\) провели перпендикуляр \(MB\) и наклонные \(MA\) и \(MC\). Найдите угол между прямой \(MC\) и плоскостью \(\alpha\), если \(MA = 5\sqrt{2}\) см, \(MC = 10\) см, а угол между прямой \(MA\) и плоскостью \(\alpha\) равен \(45^\circ\).

Дано: \(MA = 5\sqrt{2}\) см, \(MC = 10\) см, угол между \(MA\) и плоскостью \(\alpha\) равен \(45^\circ\).

Перпендикуляр \(MB\) вычисляем по формуле: \(\sin 45^\circ = \frac{MB}{MA}\), откуда \(MB = 5\).

Угол между \(MC\) и плоскостью \(\alpha\) находим: \(\sin \theta = \frac{MB}{MC} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\), значит \(\theta = 30^\circ\).

Рассмотрим точку \(M\), из которой к плоскости \(\alpha\) проведены две прямые: \(MA\) и \(MC\). Длина \(MA\) равна \(5\sqrt{2}\), длина \(MC\) равна \(10\), а угол между прямой \(MA\) и плоскостью \(\alpha\) составляет \(45^\circ\). Чтобы найти угол между прямой \(MC\) и этой же плоскостью, сначала определим длину перпендикуляра \(MB\), опущенного из точки \(M\) на плоскость \(\alpha\).

По определению, синус угла между наклонной и плоскостью равен отношению длины перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость, к длине наклонной. Для прямой \(MA\) имеем: \(\sin 45^\circ = \frac{MB}{MA}\). Подставляем известные значения: \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(MA = 5\sqrt{2}\). Получаем уравнение: \(\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{MB}{5\sqrt{2}}\). Перемножая крест-накрест, имеем: \(MB = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\), так как \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\), а \(2\) делим на \(2\).

Теперь найдём угол между прямой \(MC\) и плоскостью \(\alpha\). По аналогии с предыдущим шагом, синус этого угла равен отношению длины перпендикуляра \(MB\) к длине наклонной \(MC\): \(\sin \theta = \frac{MB}{MC}\). Подставляем значения: \(MB = 5\), \(MC = 10\). Получаем: \(\sin \theta = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\). Отсюда находим угол: \(\theta = \arcsin \frac{1}{2} = 30^\circ\), так как синус \(30^\circ\) равен \(\frac{1}{2}\).

Таким образом, угол между прямой \(MC\) и плоскостью \(\alpha\) составляет \(30^\circ\). Все вычисления опираются на геометрические определения синуса угла между наклонной и плоскостью, а также на стандартные значения тригонометрических функций для углов \(45^\circ\) и \(30^\circ\).