ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 13.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Из точки \(A\) к плоскости \(\alpha\) провели перпендикуляр \(AH\) и наклонные \(AB\) и \(AC\), образующие с плоскостью соответственно углы \(45^\circ\) и \(60^\circ\). Найдите отрезок \(AB\), если \(AC = 4\sqrt{3}\) см.

В треугольнике \(AHC\): \(\sin 60^\circ = \frac{AH}{AC}\), значит \(AH = AC \cdot \sin 60^\circ = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\).

В треугольнике \(AHB\): \(\sin 45^\circ = \frac{AH}{AB}\), значит \(AB = \frac{AH}{\sin 45^\circ} = \frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}\) см.

Сначала рассмотрим треугольник \(AHC\), где \(AC = 4\sqrt{3}\) см, а угол при вершине \(H\) равен \(60^\circ\). По определению синуса: \(\sin 60^\circ = \frac{AH}{AC}\). Подставляем значения: \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(AC = 4\sqrt{3}\). Получаем уравнение: \(\frac{AH}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Перемножая крест-накрест, имеем \(AH = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\). Вычисляем: \(4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6\). Таким образом, высота \(AH = 6\) см.

Теперь рассмотрим треугольник \(AHB\), где известно, что угол при вершине \(H\) равен \(45^\circ\), а \(AH = 6\) см. Опять применяем определение синуса: \(\sin 45^\circ = \frac{AH}{AB}\). Подставляем значения: \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(AH = 6\). Тогда \(\frac{6}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Перемножая крест-накрест, получаем \(AB = \frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\).

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную: \(\frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 6 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}}\). Преобразуем знаменатель: \(\frac{12}{\sqrt{2}} = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\). Следовательно, длина \(AB = 6\sqrt{2}\) см.